JZOJ 5244. 【NOIP2017模拟8.8A组】Daydreamin ' (daydream)

Description

  worldwideD最近有午睡的习惯~   某日中午，他做了一个梦：梦见有一个怪人，她去一个岛上住N+1天（编号为0到N）。这是在大洋中的岛，每天要么是晴天，要么刮台风。   她到达岛的第0天是晴天（这样她才能上岸）。然后对于第i天，假如是晴天，那么有P（0<P≤1）的几率会变天：接下来连续M天都刮台风，然后第i+M+1天必然会转晴。   天气对她的心情会有影响，用一个值来描述她每一天的心情：如果第i天是晴天，那么这个值为A；如果是雨天，那么岛上有D（0<D≤1）的几率会发生杀人案件，如果没发生杀人案件，这个值为B，否则为C。   worldwideD醒来了，他想知道编号1到N天的心情值之和的期望值。

Input

 一行7个整数N,M,P,D,A,B,C，如题目所描述（其中给出的P，D是模998244353意义下的值）

Output

 一个整数，为答案。

Sample Input

Sample Input1

3 1 499122177 499122177 1 2 3

Sample Input2

233 23 372752072 54252411 10 20 22

Sample Output

Sample Output1

311951365

Sample Output2

651727164

Data Constraint

30%：N≤20
50%：N≤2,000
100%：1≤M≤N≤1,000,000 1≤A,B,C≤1,000 1≤P,D＜998244353

Hint

样例一输出的值对应的实数是4.6875

Solution

• 解决这道题如果直接计算总期望值的话，将会有些困难。

• 于是我们转而先计算概率。设 F[i] 表示 第 i 天是晴天的概率。

• 考虑第 i−1 天的天气，如果是晴天，那么则有：

  F[i]+=F[i−1]∗(1−P)
  。

• 如果是台风天，说明第 i−1 天是连续台风天的第 m 天，则第 i−m−1 天必然是上一个晴天。

• 则有：

  F[i]+=F[i−m−1]∗P

• 初始化是：F[0]=1（第 0 天必定是晴天），于是就可以 O(N) 求出概率了。

• 接着计算总期望，讨论第 i 天的情况：

• ①：是晴天，则期望为： F[i]∗A ；

• ②：是台风天，则期望为： (1−F[i])∗(C∗D+B∗(1−D)) （杀人案件的期望）；

• 那么把这 N 天的①②两种期望全部相加即为答案，时间复杂度为 O(N) 。

• 注意：所给的概率都是模意义下的，设给定的模数为 Mo ，处理时都应模 Mo 。

• 若给的概率在模意义下为 x ，则概率 1−x 就等于 Mo+1−x ，证明略。

Code

#include<cstdio>using namespace std;const int mo=998244353;int n,m;long long p,d,a,b,c,ans;long long f[1000001];int main(){    scanf("%d%d%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&p,&d,&a,&b,&c);    long long k=(c*d%mo+(mo+1-d)*b%mo)%mo;    for(int i=f[0]=1,l=mo+1-p;i<=n;i++)    {        f[i]=f[i-1]*l%mo;        if(i-m-1>=0) f[i]=(f[i]+f[i-m-1]*p)%mo;        ans=(ans+f[i]*a)%mo;        ans=(ans+(mo+1-f[i])*k)%mo;    }    printf("%lld",ans);    return 0;}