jzoj 1749 城市交通

Description

　　 编号为1~n的n个城市，每个城市有两个权值Ai和Bi。
　　 对于两个城市i和j，i可到j当且仅当j>i，而费用为(j-i)*Ai+Bj。
　　 求从城市1到城市n的最小费用。

Input

　 　第一行一个正整数n。
　 　第二行n个正整数，第i个表示Ai。
　　 第三行n个正整数，第i个表示Bi。

Output

　　 一个数，表示最小的费用。

Sample Input

42 9 5 49 1 2 2

Sample Output

8

Data Constraint

对于20%的数据，1<=n<=100；对于50%的数据，1<=n<=3000；对于100%的数据，1<=n<=100000，1<=Ai,Bi<=10^9。

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Solution

可以轻易的发现DP方程（由后往前推的）f[i]=min(f[j]+(j-i)*a[i]+b[j]) (j>i)但是，若每个i都枚举之前的所有j，时间复杂度为O（n^2）,最大的数据会TLE。所以，要使用斜率优化。考虑有i<j<k,若j优于k，则有f[j]+(j-i)*a[i]+b[j]<f[k]+(k-i)*a[i]+b[k]设g[i]=f[i]+b[i]则有 g[j]+j*a[i]<g[k]+k*a[i]  (j-k)*a[i]<g[k]-g[j](k-j)(-a[i])<g[k]-g[j]     (因为k>j，所以k-j>0)       -a[i]<(g[k]-g[j])/(k-j)（g[k]-g[j]）/(k-j)即点（k,g[k]）与点（j,g[j]）连线的斜率当满足>-a[i]时，j更优。于是，我们维护一个下凸壳（上面边的斜率递增），每一次二分找出最优的j，计算i的值然后把i放入下凸壳，删除队尾至满足凸壳性质。需要注意斜率是小数而带来的精度问题。

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#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;#define N 100100#define INF 4611686018427387904#define LL long longLL a[N],b[N],f[N];LL q[N];int n,tail;void init(){    scanf("%d",&n);    for (int i=1;i<=n;++i)      scanf("%lld",&a[i]);    for (int i=1;i<=n;++i)      scanf("%lld",&b[i]);}double js(LL x,LL y){    double fm,fz;    fm=f[x]+b[x]-f[y]-b[y];    fz=x-y;    double re=fm/fz;    //cout<<(f[x]+b[x]-f[y]-b[y])<<' '<<(x-y)<<' '<<re<<endl;    return re;}void push(LL x){    while (tail>0 && js(x,q[tail])>js(q[tail],q[tail-1]))      tail--;    tail++;    q[tail]=x;}int find(LL x,int l,int r){    int ans,mid;    if (l>r) return 0;    while  (l<=r)    {         mid=(l+r)/2;        if (js(q[mid],q[mid-1])-x>=0.000 && js(q[mid],q[mid+1])-x<=0.000) return mid;        if (js(q[mid],q[mid-1])-x>=0.000) l=mid+1;         else r=mid-1;    }    return 0;}int main(){    //freopen("1749.in","r",stdin);    //freopen("1749.out","w",stdout);    init();    memset(q,0,sizeof(q));    tail=0;    for (int i=1;i<=n;i++)       f[n]=INF/3;    f[n]=0;    push(n);    for (int i=n-1;i>=1;i--)    {        //if (i==1) cout<<js(q[1],q[2])<<endl;        int j;        j=find(-a[i],2,tail-1);        if (j!=0) j=q[j];        //printf("%d ",j);        if (j==0)        {            //cout<<js(q[1],q[2])<<' '<<js(q[tail],q[tail-1])<<' '<<-a[i]<<endl;          if (js(q[1],q[2])+a[i]<=0.000) j=q[1];          if (js(q[tail],q[tail-1])+a[i]>=0.000) j=q[tail];        }        if (tail==1) j=q[1];        //printf("%d\n",j);        f[i]=f[j]+(j-i)*a[i]+b[j];        push(i);        /*for (int k=1;k<=tail;k++)        {        printf("%lld ",f[q[k]]+b[q[k]]);        printf("%lld\n",q[k]);      }        printf("\n");*/    }    printf("%lld\n",f[1]);    return 0;}