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来源:互联网 发布:windows update 在哪 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 01:02
点我看题
题意:给出一系列的矩形的左下和右上点坐标,要求求出所有矩形并之后的面积和。
分析:这个分析可能有点儿长:)
这个题是扫描线的经典问题,确实是写了蛮久的,虽然以前也是A了的,但其实一直都没有搞透这个题,昨天想好好理一理这个思路,哇最后终于想通了。
首先
以这个矩形为栗子,这是我们要求的两个矩形的面积的并。
看到这个图,我们要怎么做呢?手算???对于这个题只有两个矩形手算当然很简单,但是如果有20个,200个,2000个……甚至更多的矩形呢?其实对于求矩形并后的面积和周长等类似问题,我们都可以用线段树的扫描线解决。
写到这里,我相信大家对线段树肯定都略知一二,但是扫描线是撒?
其实,扫描线就是我们假想的一根线,他可以从左向右(从右向左)或自下而上(自上而下)扫描这个组合后的图形,最后通过扫描操作得到自己想要的东西(这里得到的是横向线段的长度)。
现在具体来说说这题的解法。
首先,我们想象一根扫描线自下而上扫描,如下
进行第一次扫描,可以得到下图蓝色的面积为S1。
继而进行第二次扫描,扫描线上移,得到下图绿色的面积为S2。
最后进行第三次扫描,得到黄色部分面积S3.
最后所得矩形并后的面积就是S1+S2+S3。
上面的还是比较好理解的,但是具体要如何用代码实现呢?
首先我们用一个结构体Edge来存每一条横向边,具体包括边的左右端点值,线段的高(纵坐标)以及一个标记(标记是矩形底边还是矩形上边)。
同时用一个数组x来离散化横坐标(本题横坐标为double型,不离散化无法建树)。
做好了上面的基础操作之后,我们就可以建树了。
很重要的一点,我在下面建树的时候,叶子结点存的是一个区域,而不是一个点,就这个栗子来说,我的树是下面这个样子的
虽然结点4代表的是0,但其实它真正存的长度是x1-x0,同理,结点5存的是x2-x1,6存的是x3-x2……
这也就出现了线段树中的 int r = lower_bound(x,x+p,edge[i].r)-x-1;,r的位置之所以要减掉1,是因为这个点对应线段树的位置要减1,如果不能理解的话,可以自己手动跑一遍这个栗子,应该就能理解一二了。
线段树返回的是什么?返回的是扫描线扫描到的线段的长度。
得到长度之后,某一区域的面积就等于这个长度乘以之间的高度就好。
最后,这些小面积之后就是我们要求的总面积了。
哇哦哦,忘记说了,PushUp(rt)这个函数是用了更新线段的长度的,具体的可以看函数的注释。
参考代码:
/*线段树扫描线*//*从下往上扫描*/#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>using namespace std;#define lson rt<<1#define rson rt<<1|1const int maxn = 2e2+10;//最多只有100个点int n;//矩形数int e,p;//边数和点数//边struct Edge{ double l,r;//边的左右两点 double h;//边的高度 int tag;//边的标记,+1or-1,1代表下边,-1代表上边};Edge edge[maxn];//线段树struct SegTree{ int l,r;//线段树 int tag;//标记 double len;//长度};SegTree st[maxn<<2];double x[maxn];//离散化之后的横坐标点inline void GetEdge( double l, double r, double h, int tag){ edge[e].l = l; edge[e].r = r; edge[e].h = h; edge[e].tag = tag; e++;}inline void GetPoint( double xi){ x[p++] = xi;}//按照高度从小到大排序bool cmp( Edge p, Edge q){ return p.h < q.h;}void Build( int l, int r, int rt){ st[rt].l = l; st[rt].r = r; st[rt].tag = st[rt].len = 0; if( l == r) return; int mid = (l+r)>>1; Build(l,mid,lson); Build(mid+1,r,rson); //本题不PushUp}void PushUp( int rt){ printf("tag=%d\n",st[rt].tag); if( st[rt].tag)//tag>0,说明是下边,直接求出长度 st[rt].len = x[st[rt].r+1]-x[st[rt].l]; else if( st[rt].l == st[rt].r)//是个点,长度为0 st[rt].len = 0; else//长度为儿子结点长度之和 st[rt].len = st[lson].len+st[rson].len;}void Update( int L, int R, int rt, int tag){ if( L <= st[rt].l && R >= st[rt].r) { st[rt].tag += tag; PushUp(rt); return; } int mid = (st[rt].l+st[rt].r)>>1; if( R <= mid) Update(L,R,lson,tag); else if( L > mid) Update(L,R,rson,tag); else { Update(L,mid,lson,tag); Update(mid+1,R,rson,tag); } PushUp(rt);}int main(){ while( ~scanf("%d",&n) && n) { e = 0; p = 0; double x1,y1,x2,y2; for( int i = 0; i < n; i++) { scanf("%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2); GetEdge(x1,x2,y1,1);//底边 GetEdge(x1,x2,y2,-1);//定边 GetPoint(x1);//左端点 GetPoint(x2);//右端点 } sort(edge,edge+e,cmp); sort(x,x+p); //点去重 int tmp = p; p = 1; for( int i = 1; i < tmp; i++) if( x[i] != x[i-1]) x[p++] = x[i]; //建树 Build(0,p-1,1); double ans = 0; for( int i = 0; i < e-1; i++) { int l = lower_bound(x,x+p,edge[i].l)-x; int r = lower_bound(x,x+p,edge[i].r)-x-1; Update(l,r,1,edge[i].tag); ans += (edge[i+1].h-edge[i].h)*st[1].len; } static int cas = 1; printf("Test case #%d\n",cas++); printf("Total explored area: %.2f\n\n",ans); } return 0;}
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