莫比乌斯详细介绍
来源:互联网 发布:linux系统宕机日志 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 06:37
莫比乌斯反演
莫比乌斯反演是数论数学中很重要的内容,可以用于解决很多组合数学的问题。
莫比乌斯函数
莫比乌斯函数,数论函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯首先使用μ(n)作为莫比乌斯函数的记号。
莫比乌斯函数是指以下的函数:
在这里,λ(n)是刘维尔函数
莫比乌斯函数是一个数论函数,它同时也是一个积极函数(μ(ab) =μ(a)μ(b), a,b互质 )
当n不等于1时,n的所有因子的莫比乌斯函数值的和为0
莫比乌斯函数完整定义的通俗表达:
1、莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N
2、μ(1)=1
3、当n存在平方因子时,μ(n)=0
4、当n是素数或奇数个不同素数之积时,μ(n)=-1
5、当n是偶数个不同素数之积时,μ(n)=1
莫比乌斯反演的引入
莫比乌斯反演是数论中的重要内容,在许多情况下能够简化运算。我们考虑以下和函数:
d|n
意思是d是n的因子
我们需要找到f(n)和F(n)之间的关系。从和函数定义中可以看出:
F(1)=f(1)F(2)=f(1)+f(2)F(3)=f(1)+f(2)+f(3)F(4)=f(1)+f(2)+f(4)F(5)=f(1)+f(5)F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)F(7)=f(1)+f(7)F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)F(9)=f(1)+f(3)+f(9)那么我们就可以推出:f(1)=F(1)f(2)=F(2)-F(1)f(3)=F(3)-F(1)f(4)=F(4)-F(2)f(5)=F(5)-F(1)f(6)=F(6)-F(3)-F(2)-F(1)f(7)=F(7)-F(1)f(8)=F(8)-F(4)f(9)=F(9)-F(3)
从中我们可以看出,若n=p^2(p为质数),那么,F(p)=f(1)+f(p),F(n)=f(1)+f(p)+f(p^2)
,所以,f(n)=F(P^2)-F(P)
.
如果我们要函数满足:
那么通过上边推导,我们可以知道μ(p^2)=0
所以我们猜测:
莫比乌斯反演定理
设f(n)和g(n)是定义在正整数集合上的两个函数。定义如下:
则
莫比乌斯函数μ(d)定义
若d=1,那么μ(d)=1
若d=p1p2……pk (k为不同质数,且次数都为一),μ(d)=(-1)^k
其余 μ(d)=0
莫比乌斯反演的性质
- 性质一 (莫比乌斯反演公式):
性质二:μ(n)为积极函数
性质三:设f是算术函数,它的和函数
是积极函数,那么f也是积极函数
阅读全文
2 0
- 莫比乌斯详细介绍
- [BZOJ 1101] POI 2007 Zap · 莫比乌斯 & 分块 超详细题解
- 2017多校联合第二场 1009题 hdu 6053 TrickGCD (超详细!!!)莫比乌斯 容斥
- 莫比乌斯反演
- 莫比乌斯反演
- 莫比乌斯反演
- 莫比乌斯反演
- 莫比乌斯反演
- 莫比乌斯函数
- 莫比乌斯反演
- 莫比乌斯反演
- 莫比乌斯反演
- 莫比乌斯反演
- 【bzoj2440】莫比乌斯
- 【hdu5072】莫比乌斯
- 莫比乌斯反演
- 莫比乌斯模版
- 莫比乌斯反演
- TCP/IP协议头部结构与解析
- Java合并byte[]集合
- Redis持久化以及其原理
- UVA
- Caffe 训练时loss等于87.33的原因及解决方法
- 莫比乌斯详细介绍
- css改变hr的默认样式
- 微服务的概念
- SQL 语句递归查询 With AS 查找所有子节点
- Java中LinkedList集合
- OSG矩阵运算
- linkedmap原理及应用
- TCP/IP聊天室
- 带最小值操作的栈