卡尔曼滤波器

最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。

标准卡尔曼滤波器是在最小均方误差准则下的最佳线性过滤器，也就是说，它使系统的状态向量和状态向量的预测值之间的均方误差达到最小，它用状态方程和递推方法进行估计，它的解是以估计值形式给出的。由于它能够对物体的运动建立某种模型，因此在跟踪中经常被用到。当观测方程不是线性时，上述标准卡尔曼滤波方程不再适用，但是如果状态估计值离真实值不是很远，可以将观测方程局部线性化，得到扩展卡尔曼滤波器（EKF）。由于EKF 使用泰勒展开的一阶近似，跟踪一段时间之后，经常会引起很大的参数估计的累计误差。为此，Unscented Kalman Filter (UKF) 不再近似估计观测方程，它仍然用高斯随机变量表示状态分布，不过是用特定选择的样本点加以描述。与EKF 相比，UKF 的误差仅仅出现在三阶以上的矩中，而且计算也简单，而EKF 仅仅精确到一阶矩。总的来说，卡尔曼滤波是一个线性的估计器，能够有效地跟踪物体的运动和形状变化，但它基于两个假设：一是背景相对干净；二是运动参数服从高斯分布。因而适用范围有限，对于复杂的多峰情况，还得求助于其它方法。UKF 可表示为无色或无偏卡尔曼滤波。