有向图欧拉回路条数-BEST定理

教学香肠系列……

给定一张所有点入度=出度的有向图，求欧拉回路条数。
n≤500

为了避免出现重复，对于这个无向图，我们先确定一条1号节点出发的起始边。

找一个以1号点为根的内向树（即每个点有唯一的一条路径到达1号点），对于一个点的所有不在树上、非起始边的出边，指定一个顺序。

容易证明，这样做的一个方案唯一对应一条欧拉回路。

证明：
=>：构造法，从1号节点出发，先走起始边，每到一个点，优先走非树边，再走树边。对于非树边，按照指定的顺序走，即，如果第一条边没走过，走第一条，否则走第二条，…，若所有非树边都走过，则走树边。由于所有点入度=出度，所以不会有无边可走的情况，直到回到1号节点且无边可走为止。
显然每条边至多走一次，如何证明每条边至少走了一次？
性质1：如果一个点有未走过的出边，则这个点出发的树边一定未走过，因为树边是最后走的
性质2：如果一个节点出发的树边未走过，则它父亲节点出发的树边一定也未走过，因为每个节点入度=出度
然后就好办了，反证法，假设存在一条边没走过，那么这条边的树边一定也没走过，进而这条边父亲的树边也没走过……以此类推，1号节点有至少一条入边没有走过，那么由于入度=出度，1号节点也有至少一条出边未走过，这与终止条件矛盾，证毕。

<=：反向就很简单了，对于欧拉回路我们从1号节点出发先走起始边，然后对于每个点的所有出边，最后一条是树边，其余按照遍历顺序确定顺序即可得到一个上述方案。（1号节点不选树边，起始边确定，将其余出边确定顺序就行了）
只需证明我们选定的这些树边不会成环即可。
由于1号节点不选择树边，因此环上一定不存在1号节点。
假如这些边存在环，那么从环上一个点出发，最后一次离开这个点走的是树边，那么沿着树边走下去，最后仍然会回到这个点，而这个点的最后一条出边已走过，因此欧拉回路终止于此节点。而此节点不是1号节点，矛盾。

这样我们就将有向图欧拉回路一一对应了上述方案，那么方案数是多少？

对于每个生成的内向树，1号节点起始边固定，其余边指定顺序，方案数为(d1−1)!；其余节点有一条树边，其余边指定顺序，方案数为(di−1)!，总方案数为∏i=1n(di−1)!。这里di表示点i的出度。

那么以1为根的内向树有多少个呢？矩阵树定理，O(n3)求出。

最终答案为T1(G)∗∏i=1n(di−1)!
其中T1(G)=(出度矩阵-邻接矩阵)$去掉第一行第一列后行列式的值。

顺带一提，由于有向图的欧拉路径条数恒定不随根节点改变而改变，所以T1(G)还可以换成T2(G),T3(G),...。这样我们就证明了对于欧拉图来说，T1(G)=T2(G)=...=Tn(G)。我还没想好怎么用其他方法证明这个结论……

代码自然是没有的啦。。你可曾见过老年选手打代码？