0-1背包问题

0-1背包问题

在N件物品取出若干件放在容量为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2……Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。

输入

第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的数量，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 10000)第2 - N + 1行，每行2个整数，Wi和Pi，分别是物品的体积和物品的价值。(1 <= Wi, Pi <= 10000)

输出

输出可以容纳的最大价值。

输入示例

3 62 53 84 9

输出示例

14

0-1背包问题：第一想法是？（1） 枚举？万能的枚举啊。但对于n件物品，每件都可以选择取或者不取，总的可能性有2n, n = 30就大约已经有10亿种可能了！枚举所有可能选择一种不超过背包承重并且价值最大的物品组合，枚举量太大了。（2） 贪心？ 嗯，有点意思。先选最贵重的物品？找个反例：

n = 3, m = 3
v = （2，2，3）
w = （1，2，3）

按照先选贵重物品的策略，会先选择价值为3的那个，并且背包装满了，但是如果我们选取前两个物品，总价值可以达到4。
可能你已经想到了，考虑“性价比”，先选取“性价比”高的。性价比怎么定义呢？用价值除以重量！先选取单位重量价值最大的物品试试？

（3） 试试动态规划？

我们从1-n一件一件选择物品，为什么要记录之前选择了哪些物品呢？ 因为我们要计算重量和价值，那我们能不能只记录重量和价值呢？可以的。

令f(i，j)表示选决定了前i件物品，重量恰好为j的时候能获得的最大价值。
假设我们已经知道了全部的f(i-1，*)的值，如何求f(i，*)，换句话说我们有了状态表示还不够，如何求出递推式？
对f(i,j)如果我们不选取第i件物品，则显然f(i, j) = f(i – 1,j)
如果我们要选取第i件物品，那么前i – 1件物品必须要达到j - wi且价值最大。由我们对f的定义，有f(i,j) = f(i-1,j - wi) + vi, 那么我们究竟选不选第i件物品呢？只好看哪个大了值大了，所以由

 f(i,j) = max(f(i – 1, j) , f(i-1,j - wi) + vi);

当然只有j>= wi的时候我们才有选择第i件物品的权力。
那么初值是什么呢？f(0,*)，一件物品也不选的时候，显然重量只能是0，其他的重量都不存在，我们用负无穷来表示不可能，因为求的是最大价值嘛。
那么，我们整理一下我们的递推式子和初值：

 f(i,j)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0(i=0∩j=0)−∞(i=0∩j>0)f(i−1,j)(i>0∪j<w)max(f(i−1,j),f(i−1,j−wi)+vi)(i>0∪j>wi) 

那么我们求的值是什么呢？ 回想f的定义，最终的答案是背包要装的物品价值最大。那么答案应该

 
max{f[n][i]}  (0<=i<=n) ;

 
 
注意这里i可以等于0——如果背包一件物品都容纳不了呢？ 
至此我们的问题得到了解答。

fmax{f[n][i]}  (0<=i<=n) 

核心伪代码：

f(0) = 0f(1..m) = -∞for i = 1 to n do   for j = m downto wi do       f(j) = max(f(j), f(j - wi))   endforendfor

所求结果是max{f(0..m)}

注意我们循环j只到w_i，因为再小的j会导致我们无法选择第i件物品，这时我们直接使用不用第i件物品的旧值就好啦。简单吧？

那么现在，时间复杂度时不变的，空间复杂度降低O(m)了。

尝试换一种状态表示？ 我们令f(i,j)表示决定了前i件物品，总重量不超过j时能获得的最大价值。仔细想想递推式是不变的，那么初值呢？如果初值不变，f就没变化了……i＝ 0时，总重量时0，又因为0不超过任何整数，所以根据定义初值是f(0,*) = 0
那么最终结果呢？根据定义，最终结果是f(n,m)而没有必要再一串数里取最大了。可见即使递推式相同，初值不同也会定义不同的函数，请不要忽略初值的作用啊。同样我们可以优化掉第一维。

核心伪代码：

初值f(0..m) = 0for i = 1 to n do    for j = m downto wi do        f(j) = max(f(j), f(j - wi))    endforendfor

所求结果是f(m);

AC代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=10010;int dp[maxn],a[maxn],b[maxn];int main(){int n,m;while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d %d",&a[i],&b[i]);}memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=a[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+b[i]);}}printf("%d\n",dp[m]);}return 0;}

 f(i,j)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0(i=0∩j=0)−∞(i=0∩j>0)f(i−1,j)(i>0∪j<w)max(f(i−1,j),f(i−1,j−wi)+vi)(i>0∪j>wi) 

 f(i,j)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪0(i=0∩j=0)∞(i=0∩j>0)f(i−1,j)(i>0∪j<vi)max(f(i−1,j),f(i−1,j−wi)+vi)(i>0∪j>vi)