（吴恩达笔记 1-3）——损失函数及梯度下降

本节将直观的说明一下损失函数是用来干嘛的，为什么会用损失函数。其中内容参考自吴恩达讲学视频字幕及截图。

1、损失函数(loss function)

损失函数(loss function)或代价函数(cost function)来度量预测错误程度

也就是说，对于一个机器学习算法，如何评价一个算法是否是比较好的算法，需要提前定义一个损失函数，来判断这个算法是否是最优的，而后面不断的优化求梯度下降，使得损失函数最小，应该也是为了让一个算法达到意义上的最优，

接下来我们会引入一些术语我们现在要做的便是为我们的模型选择合适的 参数（parameters）θ0 和 θ1， 在房价问题这个例子中便是直线的斜率和在 y 轴上的截距。

我们选择的参数决定了我们得到的直线相对于我们的训练集的准确程度， 模型所预测的
值与训练集中实际值之间的差距（下图中蓝线所指）就是 建模误差（modeling error）。

我们的目标便是选择出可以使得建模误差的平方和能够最小的模型参数

代价函数也被称作平方误差函数，有时也被称为平方误差代价函数。我们之所以要求出误差的平方和，是因为误差平方代价函数，对于大多数问题，特别是回归问题，都是一个合理的选择。还有其他的代价函数也能很好地发挥作用，但是平方误差代价函数可能是解决回归问题最常用的手段了。

下面是我们的假设目标函数的公式，我们需要通过costfunction求得参数theta0和theta1

我们这里先把theta0假设做0，改变theta1，这里就会得到左边的图所示三条不同的直线，这是我们的目标直线，将这三条直线上的预测的点，与实际的数据点y进行比较，也就是每个点（将1,2,3带入直线函数中求得的y与实际y相减），这里就会得到J为损失值。

我们将theta1作为变量，取不同的值所得的不同曲线，再求得不同的损失值J作为因变量，画成右图所示的曲线。

这便是我们要求的损失函数了，这里我们可以看到在theta1取1事损失值为0，也就是左边图实际点画线，y=1*x+0相重合，这时的损失值为0

那么如果把theta0也变动的话，就成了上面的三维所示的图行，在图中也可以找到一个使得损失函数最小的点，这个点对应的参数θ0 和 θ1，便是我们所要计算的参数。

那么如何计算这两个参数呢？

2、梯度下降计算函数参数

这里便要用到数学上的梯度下降算法了

梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数J(θ 0 ,θ 1 ) 的最小值。梯度下降背后的思想是：开始时我们随机选择一个参数的组合（θ 0 ,θ 1 ,...,θ n ），计算代价函数，然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到到到一个局部最小值（local minimum），因为我们并没有尝试完所有的参数组合，所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值（global minimum），选择不同的初始参数组合，可能会找到不同的局部最小值

吴恩达教授提出了一个比喻：

想象一下你正站立在山的这一点上，站立在你想象的公园这座红色山上，在梯度下降算法中，我们要做的就是旋转 360 度，看看我们的周围，并问自己要在某个方向上，用小碎步尽快下山。这些小碎步需要朝什么方向？如果我们站在山坡上的这一点，你看一下周围，你会发现最佳的下山方向，你再看看周围，然后再一次想想，我应该从什么方向迈着小碎步下山？然后你按照自己的判断又迈出一步，重复上面的步骤，从这个新的点，你环顾四周，并决定从什么方向将会最快下山，然后又迈进了一小步，并依此类推，直到你接近局部最低点的位置。

其中 α 是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大，在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数

对于这个问题，求导的目的，基本上可以说取这个红点的切线，就是这样一条红色的直线，刚好与函数相切于这一点，让我们看看这条红色直线的斜率，就是这条刚好与函数曲线相切的这条直线，这条直线的斜率正好是这个三角形的高度除以这个水平长度，现在，这条线有一个正斜率，也就是说它有正导数，因此，我得到的新的 θ 1 ，θ 1 更新后等于 θ 1 减去一个正数乘以 α。

这就是我梯度下降法的更新规则

让我们来看看如果 α 太小或 α 太大会出现什么情况：

如果 α 太小了，即我的学习速率太小，结果就是只能这样像小宝宝一样一点点地挪动，去努力接近最低点，这样就需要很多步才能到达最低点，所以如果 α 太小的话，可能会很慢因为它会一点点挪动，它会需要很多步才能到达全局最低点。

如果 α 太大，那么梯度下降法可能会越过最低点，甚至可能无法收敛，下一次迭代又移动了一大步，越过一次，又越过一次，一次次越过最低点，直到你发现实际上离最低点越来越远，所以，如果 α 太大，它会导致无法收敛，甚至发散。

我想找到它的最小值，首先初始化我的梯度下降算法，在那个品红色的点初始化，如果我更新一步梯度下降，也许它会带我到这个点，因为这个点的导数是相当陡的。现在，在这个绿色的点，如果我再更新一步，你会发现我的导数，也即斜率，是没那么陡的。

随着我接近最低点，我的导数越来越接近零，所以，梯度下降一步后，新的导数会变小一点点。然后我想再梯度下降一步，在这个绿点，我自然会用一个稍微跟刚才在那个品红点时比，再小一点的一步，到了新的红色点，更接近全局最低点了，因此这点的导数会比在绿点时更小。

所以，我再进行一步梯度下降时，我的导数项是更小的，θ1 更新的幅度就会更小。所以随着梯度下降法的运行，你移动的幅度会自动变得越来越小，直到最终移动幅度非常小，你会发现，已经收敛到局部极小值。

这就是梯度下降算法，你可以用它来最小化任何代价函数 J，不只是线性回归中的代价函数 J。

3、梯度下降算法

梯度下降算法和线性回归算法比较如图

梯度下降算法：

迭代求解参数值：

我们刚刚使用的算法，有时也称为批量梯度下降。实际上，在机器学习中，通常不太会给算法起名字，但这个名字”批量梯度下降”，指的是在梯度下降的每一步中，我们都用到了所有的训练样本，在梯度下降中，在计算微分求导项时，我们需要进行求和运算，所以，在每一个单独的梯度下降中，我们最终都要计算这样一个东西，这个项需要对所有 m 个训练样本求和。因此，批量梯度下降法这个名字说明了我们需要考虑所有这一”批”训练样本。
而事实上，有时也有其他类型的梯度下降法，不是这种”批量”型的，不考虑整个的训练集，而是每次只关注训练集中的一些小的子集。在后面的课程中，我们也将介绍这些方法。

但就目前而言，应用刚刚学到的算法，你应该已经掌握了批量梯度算法，并且能把它应用到线性回归中了，这就是用于线性回归的梯度下降法。

4、总结

以上便解答了我们对于一些入门机器学习算法上的一些难以理解的公式，通过一些图形更能直观的感受和了解，毕竟知道怎么来的更方便我们理解和接受。

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