完全背包练习之钢条切割问题

/*     Name: 钢条切割问题     Author: 巧若拙      Description:  给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表 pi (i=1,2, …,n)，求切割钢条的方案，使得销售收益rn最大。注意，如果长度为n英寸的钢条价格pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。若钢条的长度为i，则钢条的价格为Pi，如何对给定长度的钢条进行切割能得到最大收益？长度i   1   2   3   4     5     6     7     8     9     10价格Pi  1   5   8   9    10     17    17    20    14    30i = 1时，钢条不可切割，r[1]= 1；i = 2时，钢条可分割为1+ 1，其价格为2。若不分割（0 + 2），价格为5。即r[2] = 5；i = 3时，钢条可分割为0+ 3，1 + 2。r[3] = 8；同理可得：r[4] = 10（2+ 2）；r[5] = 13（2+ 3）；r[6] = 17（0+ 6）；r[7] = 18（1+ 6或4+ 3=> 2 + 2 + 3）；.......我们可以发现，长度为7时，将其切割为长度4与长度3的钢条，并对两个钢条分别求最优解：长度4的最优解为r[4] = 10（2 + 2），长度3的最优解为r[3] = 8，即可得r[7] =r[4]+ r[3] =>原问题的最优解等于子问题的最优解之和的最大值我们将钢条左边切割下长度为 i 的一段，只对右边剩下的长度为 n-i 的一段继续进行切割（递归求解），对左边的一段不再进行切割。即问题分解的方式为：将长度为n 的钢条分解为左边开始一段，以及剩余部分继续分解的结果。这样，不做任何切割的方案就可以描述为：第一段的长度为n ，收益为 pn，剩余部分长度为0，对应的收益为r0=0。于是公式的简化版本：因此，在计算r[i]时，所求值即为r[0] +r[i]，r[1]+ r[i-1]，r[2]+ r[i-2]，...  ，r[i-1] +r[1] 之间的最大值，而在动态规划中，r[0]--r[i-1]的值在计算r[i]之前已经保存好了，进行少量的运算便能取得最优结果。这个是典型的完全背包问题，相当于共有n个物品，物品的重量wi分别是1-n，价值为pi，背包总容量为n，求最大价值。 */  #include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstdio>using namespace std;const int MAXC = 10000; //背包最大容量 const int MAXN = 10000; //物品的最大个数int W[MAXN+1];//物品的重量 int P[MAXN+1];//物品的价值 int B2[MAXN+1][MAXC+1]; //记录给定n个物品装入容量为c的背包的最大价值 int B4[MAXC+1]; //记录最优解 int X[MAXN+1]; //记录装入背包中的物品编号及其数量 int CompletePack_2(int n, int c);//动态规划:F[i][j] = max(F[i-1][j], F[i][j-W[i]] + P[i])int CompletePack_4(int n, int c);//优化的动态规划算法，一维数组存储记录void Show(int i, int j);  //i和j分别表示正在处理的第i个物品和此时背包的剩余容量int Show_2(int n, int c); //利用数组B2[][]，输出物品装载情况，并返回实际装载量，X[i]初始化为0 int main() {int n, c;cin >> n;for (int i=1; i<=n; i++)//随机获取长度价格，但确保长的比短的价值高       {          do{              P[i] = (i>4)? (P[i-4] + rand()%20+1) : rand()%20+1;          }while (P[i] <= P[i-1]);          printf("%d ", P[i]);          W[i] = i;    }  c = n;//动态规划：二维数组存储记录，需要用到全局变量W[], P[], 另有B2[MAXN+1][]默认初始化为0 cout << CompletePack_2(n, c) << endl; //优化的动态规划算法，一维数组存储记录，需要用到全局变量W[], P[], 另有B4[]初始化为0cout << CompletePack_4(n, c) << endl; //利用数组B2[][]，输出物品装载情况，X[i]初始化为0cout << Show_2(n, c) << endl; //利用数组B2[][]，按照编号顺序，递归输出装入背包的物品信息（编号，数量，重量，价值）Show(n, c); return 0;}int CompletePack_2(int n, int c)//动态规划:F[i][j] = max(F[i-1][j], F[i][j-W[i]] + P[i]){ for (int i=1; i<=n; i++){for (int j=1; j<=c; j++){if (j < W[i]) //现有容量不够，则和给定i-1个物品装入容量为j的背包的结果一致 B2[i][j] = B2[i-1][j];else //现有容量足够，本次可以选择装或不装第i件物品（因为第i件物品可以装无限次，故背包中可能已经装有第i件物品了） B2[i][j] = max(B2[i-1][j], B2[i][j-W[i]] + P[i]);}}return B2[n][c];}int CompletePack_4(int n, int c)//进一步优化的动态规划算法，用1个一维数组代替二维数组{ for (int i=1; i<=n; i++){//须先求出列坐标j较小的F[j]，故让循环变量j的值从小到大递增 for (int j=W[i]; j<=c; j++){//当(j < W[i] || B4[j] > B4[j-W[i]] + P[i])时，B4[j]的值不变if (B4[j] < B4[j-W[i]] + P[i])B4[j] = B4[j-W[i]] + P[i];}}return B4[c];}void Show(int i, int j)  //i和j分别表示正在处理的第i个物品和此时背包的剩余容量{if (j == 0 || i == 0)return;if (B2[i][j] == B2[i-1][j]) {Show(i-1, j); //未装载物品i}else{for (int k=j/W[i]; k>0; k--){if (B2[i][j] == B2[i-1][j-k*W[i]] + k*P[i]) //装载了k个物品i {Show(i-1, j-k*W[i]);cout << i << ": " << k << " " << W[i] << " " << P[i] << endl;return;}}}} int Show_2(int n, int c) //利用数组B2[][]，输出物品装载情况，并返回实际装载量，X[i]初始化为0 {for (int i=n,j=c; i>0; i--){if (B2[i][j] != B2[i-1][j]) {for (int k=j/W[i]; k>0; k--){if (B2[i][j] == B2[i-1][j-k*W[i]] + k*P[i]){X[i] = k;j -= k*W[i]; //更新j的值 break;}}}}int s = 0;for (int i=1; i<=n; i++){if (X[i] > 0){s += W[i] * X[i];cout << i << ": " << X[i] << " " << W[i] << " " << P[i] << endl;}}return s;}