IC、IR 和 BR 的定义
首先假定一下，我们要预测的应该是残差收益，而不是整体收益。
定义“残差收益”residual return 为收益中与基准无关的那部分。用 r~ 表示 N 个股票的残差收益，f 表示用来预测残差收益的 K 个因子。为了预测残差收益，可以对下式进行估计：
r~t=Bft+ϵ~t,t=1,⋯,T
其中 B 是需要估计的因子的暴露，ϵ 是回归误差。
完成对上式的估计之后，就可以用来估计 E(r~T+1) 和 Var(r~T+1)。
定义 IR
有了 E(r~T+1) 和 Var(r~T+1) 之后，投资组合经理就可以构建最优残差仓位（optimal residual position），即让 r~T+1 的基准 β 为 0 的最小方差组合。构造出该组合时候，就可以用该组合的期望收益除以标准差来定义 IR。用 w 表示最优残差仓位中各个股票的权重向量，那么：
IR≡wTE(r~T+1)wTVar(r~T+1)w−−−−−−−−−−−−−√
定义 BR
Grinold 和 Kahn 定义 Breadth 即 BR 为帮助预测残差的不同信号个数，也就是信号向量的维数。在前面所述的框架中，其实就是 f 的维数 K。
理论上来说，预测因子的个数不是一定等于信号个数的，但在实践中，两者一般相等。它们的相等有两个原因：第一，给出残差收益关于信号的条件分布，信号个数不能被独立地决定，外人无法从残差收益的预测中自己决定信号的个数（Outsiders cannot determine by themselves the number of signals from the forecast of residual returns）。第二，一旦因子的个数确定了，信号的个数就不重要了，比如用两个因子拼出一个新的因子，并把新因子加入到预测的回归模型中，那么新因子是来自两个因子的事实就不重要了。
再举一个例子，有一个因子是分析师评级，是由几千名分析师的预期构成的，有人会觉得信号个数应该是几千，但这显然不现实，我们无法知道究竟是多少分析师给出了不受他人影响的独立观点，真正起作用的是那个叫“分析师评级”的因子。
因为上述原因，在决定 BR 值的时候有必要进行调整，小心不要将同一个因子重复计数了。用数学语言来说，我们要计算的是最大的线性无关因子数。
定义 IC
在定义 IC 之前，要对 r~ 和f 进行标准正交化（orthonormalize）。操作如下：
先寻找矩阵 G 和 H，使
r~=Gxf=Hy
其中 x 和 y 是服从多元标准正态分布的随机变量（假设 r~ 和f 服从多元正态分布），也就是说，x 和 y 方差为 0，协方差矩阵为单位矩阵。G 和 H 本质上就是 r~ 和f 的方差（协方差矩阵）的平方根，即
Var(r~)=GGTVar(f)=HHT
在标准正交化之后，就可以定义 IC2了：
IC2≡1K∑j=1K∑i=1NCov(xi,yj)2
这和 Grinold 和 Kahn 给出的公式不太一样，他们假设 ∑i=1NCov(xi,yj)2 在所有的 j 上都一样，因此省略了前面一步的求和，另外，他们用相关系数而不是协方差来定义，但由于 x 和 y 已经标准正交化了，这两者等价。
IC、IR 和 BR 的简单解释
首先，我们要预测 r~T+1，这是由 N 个股票组成的向量，但我们只需要预测 N−1 个数值即可。想一想为什么？这是因为，残差收益是在总体收益中剔除了基准之后的收益，如果用 rB,t 表示基准在 t 时刻的收益，β 表示基准组合中各成分股的 β 系数，那么有：
rt=α+βrB,t+r~t,t=1,⋯,T
用 wB 来表示基准中各成分股的比例，那么有 wTBβ=wTBCov(rt,rB,t)Var(rB,t)=1 （β 系数的定义），以及 wTBrt=rB,t，从而我们可以推出 wTBr~t=0，即所有股票的残差收益的加权和为零。
由此可见，我们只需预测 N−1 个股票的下一期残差收益即可。设前 N−1 个股票的 T+1 期残差收益为 r~1,T+1，权重向量为 wB1，第 N 个股票（最后一个）的 T+1 期残差收益为 r~2,T+1，权重值为 wB2，可以推出
r~2,T+1=−1wB2wTB1r~1,T+1≡−cTr~1,T+1
其中 c=1wB2wB1。
为了预测 r~1,T+1，设 B1 为前 N−1 个股票的 (N−1)×K 的因子载荷矩阵，那么有
r~1,t=B1ft+ϵ~1,t,t=1,⋯,T
我们先假设已经得到了 r~1,T+1 的均值和方差估计：
E(r~1,T+1)=BT1fT+1≡μ1Var(r~1,T+1)≡Σ11
那么对于 r~2,T+1，有：
E(r~2,T+1)=−cTμ1Var(r~2,T+1)=cTΣ11cCov(r~1,T+1,r~2,T+1)=−Σ11c
我们的目的是，在收益不变的情况下，求出具有最小残差的仓位（权重向量），即求解以下约束优化问题：
mins.t.(w1w2)T(Σ11−cTΣ11−Σ11ccTΣ11c)(w1w2)(w1w2)T(β1β2)=0(w1w2)T(μ1−cTμ1)=μ¯
接下来，就让我们把它解出来！
第一个约束可以把 w2 直接表示成 w2=−1β2βT1w1≡−dTw1，那么要最小化的式子为：
wT1Σ11w1+wT1Σ11cdTw1+wT1dcTΣ11w1+wT1dcTΣ11cdTw1=wT1(I+cdT)TΣ11(I+cdT)w1
第二个限制条件变为 wT1μ1+wT1dcTμ1=wT1(I+dcT)Tμ1=μ¯
定义 w∗≡(I+cdT)w1，原问题就转化为
minw∗w∗TΣ11w∗s.t.w∗Tμ1=μ¯
可以直接表示出 w∗=μ¯Σ−111μ1μT1Σ−111μ1。
具有最优残差的组合，它的均值和方差是
Var(wTr~T+1)=μ¯21μT1Σ−111μ1E(wTr~T+1)=μ¯
而由 IR 的定义，迹的性质，以及 μ1 的确切表达式，可进行推导：
IR2=[wTE(r~T+1)]2wTVar(r~T+1)w=μT1Σ−111μ1=tr(Σ−111μ1μT1)=tr(Σ−111B1fT+1fTT+1BT1)
可以用 f 的二阶矩来近似式中的 fT+1：
B1fT+1fTT+1BT1≈1T∑t=1TB1ftfTtBT1=1T∑t=1Tr1,trT1,t−1T∑t=1Tϵ~1,tϵ~T1,t=⎛⎝⎜(1T∑t=1Tr1,trT1,t)12⎞⎠⎟TR2(1T∑t=1Tr1,trT1,t)12
这里的 R2 定义为
R2≡I−⎛⎝⎜(1T∑t=1Tr1,trT1,t)−12⎞⎠⎟T(1T∑t=1Tϵ~1,tϵ~T1,t)(1T∑t=1Tr1,trT1,t)−12
我们还可以用回归误差的二阶矩来近似 Σ：
Σ≈1T∑t=1Tϵ~tϵ~Tt=⎛⎝⎜(1T∑t=1Tr1,trT1,t)12⎞⎠⎟T(I−R2)(1T∑t=1Tr1,trT1,t)12
把这两个近似代回到 IR2 中，有 tr(Σ−111B1fT+1fTT+1BT1)≈tr[(I−R2)−1R2]，再近似一下，有 tr[(I−R2)−1R2]=tr(R2)。
综上所述，我们可以得到一条引理：
Lemma The squared information ratio is approximately the goodness of fit of the return forecastingregression: IR2≈tr(R2).
接下来，我们来看看 IC，从 R2 出发：
tr(R2)=⎡⎣⎢⎢I−⎛⎝⎜(1T∑t=1Tr1,trT1,t)−12⎞⎠⎟T(1T∑t=1Tϵ~1,tϵ~T1,t)(1T∑t=1Tr1,trT1,t)−12⎤⎦⎥⎥=tr[(Var(r~)−12)TVar(Bf)Var(r~)−12]=tr[Var(r~)−1BVar(f)BT]=tr[Var(r~)−1Cov(r~,fT)Var(f)−1Cov(f,r~T)]
其中最后一行的推导来自于 B=Cov(r~,f)Var(f)−1。
对 r~ 和 f 进行标准正交化，我们有：
Var(r~)=GGTVar(f)=HHTCov(r~,fT)=GCov(x,yT)HT
于是，可以进一步化简 R2：
====tr[Var(r~)−1Cov(r~,fT)Var(f)−1Cov(f,r~T)]tr[(GGT)−1GCov(x,yT)HT(HHT)−1HCov(y,xT)GT]tr[Cov(x,yT)Cov(y,xT)]∑j=1K∑i=1NCov(xi,yj)2K⋅IC2
于是，又可以得出一条引理：
Lemma The squared information coefficient is the average contribution of each forecasting factor in
increasing the goodness of fit: tr(R2)=K⋅IC2.
当没有基准时……
在以上的计算过程中，基准都扮演了很重要的角色。但事实上，不需要基准也完全没问题。当没有基准时，我们可以在整个组合的总收益上进行计算，而不是在残差收益上。这样的应用在实践中很有价值，并且容易让人看清 IR 和夏普比率的关系。其实，IR 就是最大化的夏普比率。
设 rt 为 N 个股票在时刻 t 超过无风险收益率的超额收益。那么，我们要估计的是：
rt=Bft+ϵt,t=1,⋯,T
我们假设 f 和 ϵ 都服从均值为0的正态分布，那么 rt 也服从均值为0的正态分布，但 rt 的条件均值不是0（比如关于 ft 的条件均值）。
将前文的分析应用过来，同样可以预测 rT+1 的期望和方差，并且它服从正态分布。假设 fT+1 已经知道或被准确估计，那么有：
E(rT+1)=BTfT+1≡μ1Var(rT+1)≡Σ11
这个公式和前面的几乎一样，只是在这里指的是组合的整体收益。同样，我们也可以对 IR 进行类推，设 w 为最优组合的权重向量，我们可以定义
IR≡wTE(rT+1)wTVar(rT+1)w−−−−−−−−−−−−−√
在没有基准的时候，前述的分析依然正确。Breadth 依然是因子的数量，而 IC2 依然是对提高回归的 R2 来说每个因子的平均贡献。但新的 IR 定义提供了新的视角：IC2 还是对提高最大夏普比率平方的每个因子的平均贡献。
我们先寻找最小方差组合，即求解
minws.t.wTΣwwTμ=μPwTι=1
其中 μP 是组合的期望收益，ι 是全为1的向量。
这个问题的解是：
w∗=DΣ−1ι−AΣ−1μDC−A2+CΣ−1ι−AΣ−1ιDC−A2μP
其中：
ACD=ιTΣ−1μ=ιTΣ−1ι=μTΣ−1μ
最小方差组合的方差是：
w∗TΣw∗=Cμ2P−2AμP+DDC−A2
而夏普比率 SR 是：
μpw∗TΣw∗−−−−−−−√=DC−A2C−2A1μP+D1μ2P
当 μP=DA 时，具有最大夏普比率，也就是 IR：
IR=D=μTΣ−1μ=tr(Σ−1μμT)=tr(Σ−1BfT+1fTT+1BT)
同样，可以用 f 的二阶矩来估计 fT+1：
BfT+1fTT+1BT≈1T∑t=1TBftfTtBT=1T∑t=1TrtrTt−1T∑t=1Tϵ~tϵ~Tt=⎛⎝⎜(1T∑t=1TrtrTt)12⎞⎠⎟TR2(1T∑t=1TrtrTt)12
也同样，我们用回归误差的二阶矩来估计 Σ：
Σ≈1T∑t=1TϵtϵTt=⎛⎝⎜(1T∑t=1TrtrTt)12⎞⎠⎟T(I−R2)(1T∑t=1TrtrTt)12
将这两个近似代入到 IR2 的新定义中：
tr(Σ−1BfT+1fTT+1BT)≈tr[(I−R2)−1R2]≈tr(R2)
因此，在没有基准时，上一节的两个引理依然成立。
