大白话字符串匹配的KMP算法

【大白话之一理解篇】

参考阮一峰的《字符串匹配的KMP算法》

字符串匹配是计算机的基本任务之一。

举例来说，有一个字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，我想知道，里面是否包含另一个字符串”ABCDABD”？

许多算法可以完成这个任务，Knuth-Morris-Pratt算法（简称KMP）是最常用的之一。它以三个发明者命名，起头的那个K就是著名科学家Donald Knuth。

这种算法不太容易理解，网上有很多解释，但读起来都很费劲。直到读到Jake Boxer的文章，我才真正理解这种算法。下面，我用自己的语言，试图写一篇比较好懂的KMP算法解释。

1.

首先，字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”的第一个字符与搜索词”ABCDABD”的第一个字符，进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。

2.

因为B与A不匹配，搜索词再往后移。

3.

就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。

4.

接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。

5.

直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。

6.

这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把”搜索位置”移到已经比较过的位置，重比一遍。

7.

一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

简单来说 就是字符串查找过程中出现了不匹配：

按朴素算法，这里T应该右移一位，然后指针回溯，重新匹配。但是，你有没有发现，目前为止，蓝色部分在两个字符串中都是已知的。于是就有人想，如果出现下图这样的情况就好了：

如果是这样的话，我们就不用一个个比较了，直接滑动，跳过不匹配的就好。
以上就是 KMP 算法的思想啦，就是不让比较指针回溯，而是找到最长的滑动区间，是不是很简单！

8.

注：
1.表中第一列的那个“A”，是指有一个A匹配。
2.这和next数组含义不一样，具体见19小节
怎么做到这一点呢？可以针对搜索词，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍（15小节），这里只要会用就可以了。

9.

已知空格与D不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的”部分匹配值”为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

 公式1： 移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值 （为何是这样，后面再说（18小节）)

因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动4位。

10.

因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（”AB”），对应的”部分匹配值”为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。

11.

因为空格与A不匹配，继续后移一位。
注：如果第一个字符就不匹配，搜索词直接比较下一个字符，不用考虑《部分匹配表》

12.

逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4位。

13.

逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了。

14.

下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。

首先，要了解两个概念：”前缀”和”后缀”。 “前缀”指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；”后缀”指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

15.

“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。为什么是前、后缀的最长共有元素长度，后面再说（18小节）。现在以”ABCDABD”为例，

    　　－　"A"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；    　　－　"AB"的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；    　　－　"ABC"的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；    　　－　"ABCD"的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；    　　－　"ABCDA"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为"A"，长度为1；    　　－　"ABCDAB"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为"AB"，长度为2；    　　－　"ABCDABD"的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。

16.

“部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。

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【大白话之二释义篇】

17.

遇到X Y 不匹配,我们对下栏需要匹配的模式串进行滑动。

假设如果只能前移动一位，那么根据上图必须满足的条件为：子串T’=S’（有没有发现什么关系呢?），再进行比较。

18
进行一般化推理

当主串S 的第i位与模式串T的第j位不匹配时，假设模式串T向前移动一段距离后，此时的状态，可以从T的k位开始直接再次进行比较。(Si−k,Tj−k+1位置可以简单计算得出)

当可以从第k位开始比较，说明了阴影区域三个子串都相等。既

Si−k...Si−1=Tj−k+1....Tj−1=T1....Tk−1

也就是模式串中的后k-1位和前k-1位相等，（这也就是为什么要找前、后缀的共有元素长度）。那为什么要找最大的共有元素长度呢？
我的理解是，如果存在多个共有元素长度，只有元素长度最大，k才就最大，那么能匹配的可能性才是最大的，而且只有最大，算法才正确的。

根据上图也就很好理解公式1中的含义了：
移动位数 = 已匹配的字符数（T1到Tj−1） - 对应的部分匹配值（T1到Tk−1）

19.
说了这么多，还没有涉及到KMP算法必谈论的next数组，现在来说说。
KMP算法在实际执行过程中，当模式串在某一位匹配失败时，是直接将滑动多少位这一动作转换为从模式串T的哪一位开始直接进行比较的。
也就是求失败时候下一步执行时的j指针对应的Tk的k值，这就是next数组。

next[j]表示当模式串匹配到Tj遇到失败时，在模式串中，需要重新和主串匹配的位置。官方的next数组定义如下：

根据18小节的分析，对于这个公式就比较好理解了。
附上next函数值算法c代码

void get_next(chat T[],int next[]){    i=1;    next[1]=0;    j=0;    while(i<T[0]) //T[0]存储字符串长度    {       if(j==0||T[i]==T[j])       {         ++i；++j；next[i]=j;       }else         j=next[j]     }//while}

20
如何在做题时候进行快速求解next数组的值呢？
根据部分匹配值（已匹配的字串，前、后缀最大公共串长）求解。即

next[j]=$T1...Tj−1$的部分匹配值+1

例如：

next[1],next[2]是不需要求的，根据定义直接填写。
next[3]模式匹配到第3位a失败，此时已匹配成功的串长Y=”ab”部分匹配值为0，从第1位开始比较。next[3]=1;
next[4]模式匹配到第4位a失败，此时已匹配成功的串长Y=”aba”部分匹配值为1，从第2位开始比较。next[4]=2;
next[5]模式匹配到第5位b失败，此时已匹配成功的串长Y=”abaa”部分匹配值为1，从第2位开始比较。next[5]=2;
next[6]模式匹配到第6位c失败，此时已匹配成功的串长Y=”abaab”部分匹配值为2，从第3位开始比较。next[6]=3;
next[7]模式匹配到第7位a失败，此时已匹配成功的串长Y=”abaabc”部分匹配值为0，从第1位开始比较。next[7]=1;
next[8]模式匹配到第8位c失败，此时已匹配成功的串长Y=”abaabca”部分匹配值为1，从第2位开始比较。next[8]=2;

注：
1.若题中字串编号从0开始T0时，则按上述方法求解后next[j]的值要相应的-1；