二幂拆分问题

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问题描述：

任意一个整数x都可以写成一系列2的幂的组合，这里的组合是指用加减法把它们接连起来。令f(x)为x需要的最少的2的幂的项数，求f(x)。

如：

7=20+21+22
7=23−20

∴f(7)=2

声明：

因为f(x)=f(−x), 所以后文一致假设x非负。另外令f(0)=0。

下面介绍三种算法，由易到难，且算法之间存在联系。

算法1：

令floor2(x)表示不大于x的最大2幂, ceil2(x)表示不小于x的最小2幂，最优的组合要么是floor2(x)加上其它一些项，或者是ceil2(x)减去其它一些项。
于是可以得到求f(x)的一个递归过程如下：

def f(x):    if x == 0: return 0    l = floor2(x)    u = ceil2(x)    if l == u: return 1    return 1 + min(f(x - l), f(u - x))

算法2：

观察算法1会发现，有很多的计算都是重复的
如对于对于求f(23)：

测试代码：

def floor2( x ):    a = 1    while a < x:        a = a * 2    if a == x:        return a    else:        return a / 2def ceil2( x ):    a = 1    while a < x:        a = a * 2    return adef f(x):    print x    if x == 0:        return 0    l = floor2(x)    u = ceil2(x)    if l == u:        return 1    return 1 + min(f(x - l), f(u - x))print f( 23 )

因此可以使用一个数组存储已经计算过的结果：

def f(x):    if x == 0: return 0    if x in table: return table[x]    l = floor2(x)    u = ceil2(x)    if l == u: return 1    r = 1 + min(f(x - l), f(u - x))    table[x] = r    return r

算法3：

算法2是一个从本身串层层向下递推的过程，因此需要额外内存存储结果，因此想到，可以改进算法2为由下向上的过程。

分析算法2的递推过程：

如x=(1010110)2

x−floor2(x)=(0010110)2
ceil2(x)−x=(10000000)2−(1010110)2=(0101010)2=~x+1

我们会发现，x−floor2(x)表示的是自身串从左往右数，第二个1之后的子串，ceil2(x)−x表示的是自身串从左往右数，第一个0之后的子串取反加1

因此，算法3的思路就是，从右往左遍历自身串，用u表示以1开头的串的f(x)值，用d表示以0开头的串取反加一的f(x)值

从右往左扫，扫到1则更新u，扫到0则更新d

自身串最右边刚开始的那些0是没有用的，一直扫到1开始更新，u、d赋初值1

代码中的>>1不要当成除以2，而是看做二进制字符串的右移。&1 == 1表示最后一位是1.

def f(x):    if x == 0: return 0    while x & 1 == 0: x = x >> 1    u = 1    d = 1    x = x >> 1    while x > 0:             if x & 1 == 1:            u = min(u, d) + 1        else:            d = min(u, d) + 1        x = x >> 1    return u

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2017年9月6日更新

今天重新看了这篇文章，发现自己竟然看不懂了，what？现在终于又懂了，再把思路重新梳理一下。

前两个方法没什么好说的，关键是第三个方法，里面的u与v。

u指的是当前二进制字符串（以1开头）从左往右第二个1开头的新串的f(x)值，v指的是当前二进制字符串从左往右第一个0开头的新串取反加一得到的新新串的f(x)值（f(x)中的x指的是新串与新新串）

举个例子就懂了，这个方法确实很神奇

1010110
初始，
u: 10: 1
v: 10: 1
PS：10表示代表的串，1表示需要二进制数的个数

计算110，因为1开头，所以更新u
u=u+1: 100 + u
或u=v+1 : 1000 - v
结果：u: 110: 2

计算1010（原串：0110），更新v
v=u+1: 10000 - u
或v=v+1: 1000 + v
结果：v: 1010: 2

计算10110，更新u
u=u+1: 10000 + u
或u=v+1: 100000 - v
结果：u: 10110: 3

计算101010（原串：010110），更新v
v=u+1: 1000000 - u
或v=v+1: 100000 + v

以此类推

参考文章：

http://blog.csdn.net/howardemily/article/details/74938030
http://blog.csdn.net/howardemily/article/details/74938033