二叉排序树

二叉排序树又称“二叉查找树”、“二叉搜索树”。

二叉排序树：或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

3. 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

 

二叉排序树通常采用二叉链表作为存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个依据关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即是对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索、插入、删除的时间复杂度等于树高，期望O(logn)，最坏O(n)（数列有序，树退化成线性表，如右斜树）。

/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */typedef  struct BiTNode    /* 结点结构 */{    int data;    /* 结点数据 */    struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */} BiTNode, *BiTree;

虽然二叉排序树的最坏效率是O(n)，但它支持动态查找，且有很多改进版的二叉排序树可以使树高为O(logn)，如AVL、红黑树等。

二元排序树的查找算法

在二元排序树b中查找x的过程为：

 1.若b是空树，则搜索失败，否则：

 2.若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；否则：

 3.若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树；否则：

 4.查找右子树。

算法实现：

/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key, *//* 指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL *//* 若查找成功，则指针p指向该数据元素结点，并返回TRUE *//* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p) {      if (!T)    /*  查找不成功 */    {         *p = f;          return FALSE;     }    else if (key==T->data) /*  查找成功 */    {         *p = T;          return TRUE;     }     else if (key<T->data)         return SearchBST(T->lchild, key, T, p);  /*  在左子树中继续查找 */    else          return SearchBST(T->rchild, key, T, p);  /*  在右子树中继续查找 */}

二叉排序树的插入算法

利用查找函数，将关键字放到树中的合适位置。

/*  当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时， *//*  插入key并返回TRUE，否则返回FALSE */Status InsertBST(BiTree *T, int key) {      BiTree p,s;    if (!SearchBST(*T, key, NULL, &p)) /* 查找不成功 */    {        s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));        s->data = key;          s->lchild = s->rchild = NULL;          if (!p)             *T = s;            /*  插入s为新的根结点 */        else if (key<p->data)             p->lchild = s;    /*  插入s为左孩子 */        else             p->rchild = s;  /*  插入s为右孩子 */        return TRUE;    }     else         return FALSE;  /*  树中已有关键字相同的结点，不再插入 */}

二叉排序树的删除算法

在二叉排序树中删去一个结点，分三种情况讨论：

 1.若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。

 2.若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。

 3.若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整。比较好的做法是，找到*p的直接前驱（或直接后继）*s，用*s来替换结点*p，然后再删除结点*s。

/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素结点, *//* 并返回TRUE；否则返回FALSE。 */Status DeleteBST(BiTree *T,int key){     if(!*T) /* 不存在关键字等于key的数据元素 */         return FALSE;    else    {        if (key==(*T)->data) /* 找到关键字等于key的数据元素 */             return Delete(T);        else if (key<(*T)->data)            return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);        else            return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);             }}/* 从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树。 */Status Delete(BiTree *p){    BiTree q,s;    if((*p)->rchild==NULL) /* 右子树空则只需重接它的左子树（待删结点是叶子也走此分支) */    {        q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q);    }    else if((*p)->lchild==NULL) /* 只需重接它的右子树 */    {        q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q);    }    else /* 左右子树均不空 */    {        q=*p; s=(*p)->lchild;        while(s->rchild) /* 转左，然后向右到尽头（找待删结点的前驱） */        {            q=s;            s=s->rchild;        }        (*p)->data=s->data; /*  s指向被删结点的直接前驱（将被删结点前驱的值取代被删结点的值） */        if(q!=*p)            q->rchild=s->lchild; /*  重接q的右子树 */         else            q->lchild=s->lchild; /*  重接q的左子树 */        free(s);    }    return TRUE;}

二叉排序树性能分析

每个结点的Ci为该结点的层次数。最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和logn成正比（O(log2(n))）。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排序树为一棵斜树，树的深度为n，其平均查找长度为(n + 1) / 2。也就是时间复杂度为O(n)，等同于顺序查找。因此，如果希望对一个集合按二叉排序树查找，最好是把它构建成一棵平衡的二叉排序树（平衡二叉树）。