[kuangbin]莫比乌斯反演——入门

说是入门吧，其实写了那几题之后还是不会(

莫比乌斯反演是数论中比较重要的部分了，公式到处都有，重点就是怎么求出μ函数和如何反演，目前做到的题目好像都是利用的变形后的公式，就是：

变形前统计的是能整出n的那些，变形后统计的是n的倍数的那些。

专题里的所有题目都是跟gcd有关，让人有点怀疑莫比乌斯只能处理这类问题吗，莫比乌斯反演主要就是你要求f(n)但是求这个的复杂度太高，然而F(n)可以直接得出，然后就利用反演就能比较方便的得出f(n)。
就如gcd来说，你要求平面上gcd(x,y)=1的点对，暴力枚举的话就n^2*gcd的复杂度咯。但是对于gcd(x,y)=i的倍数的点对数量，只要x是i的倍数，y是i的倍数的所有点对就都满足了，数量也就是（x/i）*（y/i）,然后我们利用反演就能在较低的复杂度求出来了。
由于在枚举i的时候会出现连续的i，(x/i)和(y/i)的值都是不变的，所以可以利用这个加速计算

A - Visible Lattice Points——SPOJ - VLATTICE

三维空间内求gcd(x,y,z)=1的点的数量，要特殊处理一个坐标为0和两个坐标为0的点。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a));typedef long long ll;const int maxn=1000005;const int maxq=300005;const int maxm=3000005;const int inf=0x3f3f3f3f;ll n,m,q;int mu[maxn];bool vis[maxn];int prime[maxn];int tot;void get_mu(){    mu[1]=1;    for(int i=2;i<maxn;i++){        if(!vis[i]){            prime[tot++]=i;            mu[i]=-1;        }        for(int j=0;prime[j]*i<maxn&&j<tot;j++){            vis[prime[j]*i]=1;            if(i%prime[j]==0){mu[prime[j]*i]=0;break;}            mu[prime[j]*i]=-mu[i];        }    }}int main(){  get_mu();  int t;  scanf("%d",&t);  while(t--){    scanf("%lld",&n);    ll ans=3;    for(int i=1;i<=n;i++){        ans=ans+mu[i]*(n/i)*(n/i)*(n/i);    }    for(int i=1;i<=n;i++){        ans=ans+mu[i]*(n/i)*(n/i)*3;    }    printf("%lld\n",ans);  }   return 0;}

B - GCD——HDU - 1695

求平面上x in a…b, y in c…d that GCD(x, y) = k
问题转化成x in a/k…b/k, y in c/k…d/k that GCD(x, y) = 1
重点是要去重，因为(3，5)和(5，3)是算重复的，统计F(i)时变成
ll lef=ll(b)/i;
ll rig=ll(d/i);
ll mm=min(lef,rig);
F(i)=(lef*rig-mm*(mm-1)/2);

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a));typedef long long ll;const int maxn=110005;const int maxq=300005;const int maxm=3000005;const int inf=0x3f3f3f3f;ll a,b,c,d,k;int mu[maxn];bool vis[maxn];int prime[maxn];int tot;void get_mu(){    mu[1]=1;    for(int i=2;i<maxn;i++){        if(!vis[i]){            prime[tot++]=i;            mu[i]=-1;        }        for(int j=0;prime[j]*i<maxn&&j<tot;j++){            vis[prime[j]*i]=1;            if(i%prime[j]==0){mu[prime[j]*i]=0;break;}            mu[prime[j]*i]=-mu[i];        }    }}int main(){  get_mu();  int t;  int cas=0;  scanf("%d",&t);  while(t--){    cas++;    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);    printf("Case %d: ",cas);    if(k==0){printf("0\n");continue;}    b/=k;    d/=k;    if(b==0||d==0)printf("0\n");    else {        ll ans=0;        for(int i=1;i<=min(b,d);i++){            ll lef=ll(b)/i;            ll rig=ll(d/i);            ll mm=min(lef,rig);            ans+=mu[i]*(lef*rig-mm*(mm-1)/2);        }        printf("%lld\n",ans);    }    }   return 0;}

C - Mophues——HDU - 4746

还不是很懂/。。。。

//其实根本就还不会这题#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a));typedef long long ll;const int maxn=500005;const int maxm=3000005;const int inf=0x3f3f3f3f;int n,m,p;int mu[maxn];int cnt[maxn];bool vis[maxn];int prime[maxn];int f[maxn][20];int tot;void init(){    mu[1]=1;    for(int i=2;i<maxn;i++){        if(!vis[i]){            prime[tot++]=i;            mu[i]=-1;            cnt[i]=1;        }        for(int j=0;j<tot&&prime[j]*i<maxn;j++){            vis[prime[j]*i]=1;            cnt[i*prime[j]]=cnt[i]+1;            if(i%prime[j]==0){mu[prime[j]*i]=0;break;}            mu[prime[j]*i]=-mu[i];        }    }    for(int i=1;i<maxn;i++){        for(int j=i;j<maxn;j+=i){            f[j][cnt[i]]+=mu[j/i];        }    }    for(int i=1;i<maxn;i++){        for(int j=1;j<20;j++){            f[i][j]+=f[i][j-1];        }    }    for(int i=1;i<maxn;i++){        for(int j=0;j<20;j++){            f[i][j]+=f[i-1][j];        }    }}int main(){   init();   int T;   scanf("%d",&T);    while(T--){   scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);   if(p>18){    printf("%lld\n",ll(n)*m);    continue;   }    ll ans=0;    int last;    for(int i=1;i<min(n,m);i=last+1){        last=min(n/(n/i),m/(m/i));        ans+=ll(f[last][p]-f[i-1][p])*(n/i)*(m/i);    }    printf("%lld\n",ans);    }   return 0;}

E - Gcd——HYSBZ - 2818

统计gcd为质数的点的数量

根据公式右边，f(prime[i])=sigmaμ(d/prime[i])F(d)
这里的d就是质数的倍数，开一个数组存每一个F(d)对应的sigma μ(d/prime)然后求和统计，我觉得直接枚举质数来做也行？

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a));typedef long long ll;const int maxn=10000105;const int maxm=3000005;const int inf=0x3f3f3f3f;int n;bool vis[maxn];int prime[maxn];int mu[maxn];int sum[maxn];int tot;void init(int maxn){    mu[1]=1;    for(int i=2;i<maxn;i++){        if(!vis[i]){            prime[tot++]=i;            mu[i]=-1;        }        for(int j=0;prime[j]*i<maxn&&j<tot;j++){            vis[prime[j]*i]=1;            if(i%prime[j]==0){mu[prime[j]*i]=0;break;}            mu[prime[j]*i]=-mu[i];        }    }}int main(){   scanf("%d",&n);   init(n+4);   ll ans=0;   for(int i=0;i<tot;i++){        for(ll j=prime[i];j<=n;j+=prime[i]){            sum[j]+=mu[j/prime[i]];        }   }   for(int i=1;i<=n;i++){        ans+=sum[i]*ll(n/i)*(n/i);   }   printf("%lld\n",ans);   return 0;}

F - 能量采集——HYSBZ - 2005

对于gcd为i的点，能量损失为gcd(x,y)*2-1,其余的跟之前的问题都差不多，使用了加速计算。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a));typedef long long ll;const int maxn=100005;const int maxm=3000005;const int inf=0x3f3f3f3f;int n,m;int mu[maxn];bool vis[maxn];int prime[maxn];int sum[maxn];int tot;void init(int maxn){    mu[1]=1;    for(int i=2;i<maxn;i++){        if(!vis[i]){            prime[tot++]=i;            mu[i]=-1;        }        for(int j=0;j<tot&&prime[j]*i<maxn;j++){            vis[prime[j]*i]=1;            if(i%prime[j]==0){mu[prime[j]*i]=0;break;}            mu[prime[j]*i]=-mu[i];        }    }    for(int i=1;i<maxn;i++){        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];    }}ll cal(int x,int y,int k){    ll ans=0;    int last;    x/=k,y/=k;    for(int i=1;i<=min(x,y);i=last+1){        last=min(x/(x/i),y/(y/i));//i到last这段x/i and y/i都相等        ans+=ll(sum[last]-sum[i-1])*(x/i)*(y/i);    }    return ans;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    init(max(n,m)+1);    ll ans=0;    for(int i=1;i<=min(n,m);i++){        ans+=(2*i-1)*cal(n,m,i);    }    printf("%lld\n",ans);   return 0;}

G - Problem b——HYSBZ - 2301

也是跟之前的题目差不多，就是统计区间换了，加加减减一下就行了。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a));typedef long long ll;const int maxn=50005;const int maxm=3000005;const int inf=0x3f3f3f3f;int a,b,c,d,k;int mu[maxn];bool vis[maxn];int prime[maxn];int sum[maxn];int tot;void init(){    mu[1]=1;    for(int i=2;i<maxn;i++){        if(!vis[i]){            prime[tot++]=i;            mu[i]=-1;        }        for(int j=0;j<tot&&prime[j]*i<maxn;j++){            vis[prime[j]*i]=1;            if(i%prime[j]==0){mu[prime[j]*i]=0;break;}            mu[prime[j]*i]=-mu[i];        }    }    for(int i=1;i<maxn;i++){        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];    }}ll cal(int x,int y,int k){    ll ans=0;    int last;    x/=k,y/=k;    for(int i=1;i<=min(x,y);i=last+1){        last=min(x/(x/i),y/(y/i));//i到last这段x/i and y/i都相等        ans+=ll(sum[last]-sum[i-1])*(x/i)*(y/i);    }    return ans;}int main(){   init();   int T;   scanf("%d",&T);    while(T--){   scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);    ll ans=0;    a--,c--;    ans+=cal(b,d,k);    if(c)    ans-=cal(b,c,k);    if(d)    ans-=cal(a,d,k);    if(c&&d)    ans+=cal(a,c,k);    printf("%lld\n",ans);    }   return 0;}