Noip2014 Day2 T3 解方程（数论+取模运算）

题目描述

已知多项式方程：

a0+a1x+a2x^2+..+anx^n=0

求这个方程在[1, m ] 内的整数解（n 和m 均为正整数）

输入输出格式

输入格式：

输入文件名为equation .in。

输入共n + 2 行。

第一行包含2 个整数n 、m ，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n+1 行每行包含一个整数，依次为a0,a1,a2..an

输出格式：

输出文件名为equation .out 。

第一行输出方程在[1, m ] 内的整数解的个数。

接下来每行一个整数，按照从小到大的顺序依次输出方程在[1, m ] 内的一个整数解。

输入输出样例

输入样例#1：

2 10
1
-2
1

输出样例#1：

1
1

输入样例#2：

2 10
2
-3
1

输出样例#2：

2
1
2

输入样例#3：

2 10
1
3
2

输出样例#3：

0

说明

思路

我们知道 对于一个方程 a0+a1x+a2x^2+..+anx^n=0

同时对两边取模等式依然成立，即（a0+a1x+a2x^2+..+anx^n）%k=0%k=0

同时 f(x) mod k ！= 0 那么f(x + Nk) = f(x) != 0

那么对于这个方程，我们就没必要从1~m中找解

只需要从1~k-1中找那些不是解的数就可以了，最后再推测出k~m中解的情况

当然为了防止出现疏漏我们应该多找几个较大的质数（废话），其实4~5个就可以了

时间复杂度是O（nkprime），prime是所选的质数个数

所以我们最好应该取10^4左右的质数
（放几个：7457,7829,8623,8971,9781, 10007,10917,30071）

代码

#include<iostream>  #include<cstdio>  #include<cstring>   #include<algorithm>  using namespace std;  #define maxn 1000010  const int prime[]={10007,10917,30071};  //选的三个质数 int n,m;  long long a[110][5];//存放取模的值  bool f[100000][5];  //因为只需要判断是否为0 int cnt[maxn];      //最后答案存放的数组 char s[10010];      //输入用 bool calc(int value, int j){      long long tmp=0;      for(int i=n;i>=0;--i)       tmp=(tmp*value+a[i][j])%prime[j];      return tmp!=0;  }  //判断取模之后是否等于零 int main(){     cin>>n>>m;      for(int i=0;i<=n;++i)     {          scanf("%s",s);  //输入         int len=strlen(s);          int sign=1;          for (int l=0;l<len;++l)         {              if(s[l]=='-')  sign=-1;               else  //如果ai不是负数直接可以取模              for(int j=0;j<3;++j)                a[i][j]=(a[i][j]*10+s[l]-'0')%prime[j];            }          if(sign==-1)             for(int j=0;j<3;++j)            a[i][j]=prime[j]-a[i][j];          //如果ai是负数还是要变成正数     }      for(int j=0;j<3;++j)       for(int i=0;i<prime[j];++i)        f[i][j]=calc(i,j);      for(int i=1;i<=m;++i)     {          bool flag=true;  //判断标记        for(int j=0;j<3;++j)           if(f[i%prime[j]][j]) //对之后的情况可以直接做出判断         {                  flag=false;                 break;           }          if(flag) cnt[++cnt[0]]=i;          //如果是解直接放入cnt数组，cnt[0]记录解的个数    }      printf("%d\n", cnt[0]);      for(int i=1;i<=cnt[0];++i)       printf("%d\n",cnt[i]);      return 0;}