洛谷【P1725】琪露诺 DP的优化

题目描述

在幻想乡，琪露诺是以笨蛋闻名的冰之妖精。某一天，琪露诺又在玩速冻青蛙，就是用冰把青蛙瞬间冻起来。但是这只青蛙比以往的要聪明许多，在琪露诺来之前就已经跑到了河的对岸。于是琪露诺决定到河岸去追青蛙。小河可以看作一列格子依次编号为0到N，琪露诺只能从编号小的格子移动到编号大的格子。而且琪露诺按照一种特殊的方式进行移动，当她在格子i时，她只会移动到i+L到i+R中的一格。你问为什么她这么移动，这还不简单，因为她是笨蛋啊。每一个格子都有一个冰冻指数A[i]，编号为0的格子冰冻指数为0。当琪露诺停留在那一格时就可以得到那一格的冰冻指数A[i]。琪露诺希望能够在到达对岸时，获取最大的冰冻指数，这样她才能狠狠地教训那只青蛙。但是由于她实在是太笨了，所以她决定拜托你帮它决定怎样前进。开始时，琪露诺在编号0的格子上，只要她下一步的位置编号大于N就算到达对岸。

输入输出格式

输入格式：

第1行：3个正整数N, L, R

第2行：N+1个整数，第i个数表示编号为i-1的格子的冰冻指数A[i-1]

输出格式：

一个整数，表示最大冰冻指数。保证不超过2^31-1

输入输出样例

输入样例#1：

5 2 3
0 12 3 11 7 -2

输出样例#1：

11

说明

对于60%的数据：N <= 10,000

对于100%的数据：N <= 200,000

对于所有数据 -1,000 <= A[i] <= 1,000且1 <= L <= R <= N

题解

一道很水的dp（然而我半天没调出来qwq），状态转移方程:
逆推：F[i]=max{F[i−j]}+A[i],(l≤j≤r)
顺推：F[i+j]=max{F[i+j],F[i]+A[i+j]},(l≤j≤r)
F[i]表示到达第i格的最大收益。
时间复杂度O(n2)。
这样的复杂度只能过60%的数据，我们来想办法优化一下。
容易知道，F[i]这个状态只与F[i-r]到F[i-l]这几个状态有关。那么我们在转移的时候只要找出区间[i−r,i−l]中F数组的最大值即可。用单调队列、线段树等数据结构很容易实现这个要求。
具体做法是，类似滑动窗口的做法，用单调队列维护滑动窗口中的最大值，把窗口不断向右滑，同时更新当前窗口所能更新的状态。

代码：

用STL的list（双向链表）实现的单调队列：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cmath>#include <list>#define maxn 400003#define inf 0x7f7f7f7fusing namespace std;int a[maxn];int dp[maxn];int n,l,r;list<int>q;int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);    int k=r-l+1;//k代表滑动窗口的长度    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);    for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=-inf;//初始化    for(int i=0;i<=n;i++)//dp主过程    {        while(!q.empty()&&dp[i]>dp[q.front()]) q.pop_front();//向单调队列中插入元素        q.push_front(i);        while(!q.empty()&&i-q.back()+1>k) q.pop_back();//注意单调队列中存的是序号        int mx=dp[q.back()];//mx是当前窗口中的最大值        if(mx!=-inf) dp[i+l]=max(dp[i+l],mx+a[i+l]);        //i是当前窗口的结尾，所以i+l就是当前窗口所能影响到的点，把它更新    }    int ans=-inf;    for(int i=n+1;i<=n+r;i++) ans=max(ans,dp[i]);//找答案    printf("%d\n",ans);    return 0;    /*  O(n^2) DP    for(int i=l;i<=n+r;i++)    {        int mx=-inf;        for(int j=i-r;j<=i-l;j++) if(j>=0)            mx=max(mx,dp[j]);        if(mx!=-inf) dp[i]=max(dp[i],mx+a[i]);    }    */}

手写单调队列：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cmath>#define maxn 400003#define inf 0x7f7f7f7fusing namespace std;int a[maxn];int dp[maxn];int q[maxn];//单调队列int n,l,r,hd,tl;int main(){    scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);    int k=r-l+1;    for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);    for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=-inf;    hd=1;tl=0;//头指针和尾指针    for(int i=0;i<=n;i++)    {        while(hd<=tl&&dp[i]>dp[q[hd]]) hd++;        q[--hd]=i;        while(hd<=tl&&q[tl]-i+1>k) tl--;        int mx=dp[q[tl]];        if(mx!=inf) dp[i+l]=max(dp[i+l],mx+a[i+l]);    }    int ans=-inf;    for(int i=n+1;i<=n+r;i++) ans=max(ans,dp[i]);    printf("%d\n",ans);    return 0;}