[SMOJ2205]飞行员配对方案问题（二分图最大匹配）

这题是典型的二分图最大匹配问题，虽然也有专门求解这类问题的算法，但也可以直接用我们已学过的最大流解决。

题目的大意是有 m 名外籍飞行员和 (n−m) 名英国飞行员，其中每名外籍飞行员可以与若干英国飞行员配合。要求使外籍飞行员和英国飞行员一一配对驾驶一架飞机，使最终能派出的飞机数最多。

我们可以把外籍飞行员和英国飞行员抽象为两类不同的点，“能配合”的关系则是从代表外籍的点向代表英国的点连一条容量为 1 的边。例如，对于样例：

可以发现一个规律，左边的都是外籍飞行员，右边的都是英国飞行员。左边的点之间互相没有连边，右边的点之间也没有。只有从左边的点连向右边的点的边，这样的图就叫做二分图。选取其中若干边，使任意两条边都不依附于同一个顶点，要求选取尽量多的边，这样的问题就是二分图最大匹配。

不妨把“从左边的点流一个单位的流量到右边的点”视作“左边这个点的外籍飞行员与右边这个点的飞行员合作”，这就是为什么要连边的容量为 1。
那么，要使合作的对数尽可能多，当然就要求流到右边所有点的流量总和最大，而且左边每个点最多只能有一个单位流量发出（不可能同时与多人合作）。
这样的问题我们是无法直接求解的，但可以通过一个小技巧：增加超级源点 s 和超级汇点 t。从 s 向左边的点都连一条容量为 1 的边，从右边的点都向 t 连一条容量为 1 的边。现在可以认为，一条路径 s→u→v→t 表示外籍飞行员 u 与英国飞行员 v 一起开一架飞机。这样，我们从 s 点可以发出的是不超过 m 个单位的流量，经过最大流算法的匹配，最终流到 t 点的流量就是最多能配对的数量。

参考代码：

//prog81#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;const int MAXN = 100 + 10;struct Edge {    Edge *next;    int cap;    int dest;//  Edge () : next(NULL), cap(0), dest(0) {}} edges[MAXN * MAXN], *current, *first_edge[MAXN];int m, n;void insert(int u, int v, int c) {    current -> next = first_edge[u];    current -> cap = c;    current -> dest = v;    first_edge[u] = current ++;//  printf("%d %d\n", u, first_edge[u]);}Edge *counterpart(Edge *x) { //求反向边，利用了正反向边在 edges 数组中是相邻储存的特性    return edges + ((x - edges) ^ 1);}bool vis[MAXN];int dfs(int u, int f) {//  printf("%d %d\n", u, f);    if (u == n + 1) return f; //到达汇点，本次增广结束    if (vis[u]) return 0; else vis[u] = true;    for (Edge *p = first_edge[u]; p; p = p -> next) {        int v = p -> dest;        if (p -> cap)            if (int res = dfs(v, min(f, p -> cap))) { //找得到一条 u 到 t 的路径，流量为 res//              printf("%d\n", res);                p -> cap -= res;                counterpart(p) -> cap += res;                return res; //每次找一条            }    }    return 0; //无增广路}int main(void) {    freopen("2205.in", "r", stdin);    freopen("2205.out", "w", stdout);    scanf("%d%d", &m, &n); current = edges;    fill(first_edge, first_edge + n + 1, (Edge*)0);// printf("%d %d\n", m, n);    for (int i = 1; i <= m; i++) { insert(0, i, 1); insert(i, 0, 0); } //printf("%d\n", first_edge[0]);    for (int i = m + 1; i <= n; i++) { insert(i, n + 1, 1); insert(n + 1, i, 0); }    int i, j;    while (~scanf("%d%d", &i, &j) && i > 0){//      insert(0, i, 1); insert(i, 0, 0);        insert(i, j, 1); insert(j, i, 0);//      insert(j, n + 1, 1); insert(n + 1, j, 0);    }    int ans = 0;    while (true) { //不断增广，直到找不到增广路        memset(vis, false, sizeof vis);        if (int res = dfs(0, INF)) ans += res; else break;    }    if (!ans) puts("No Solution!");    else {        printf("%d\n", ans);//      for (int i = 1; i <= m; i++)//          for (Edge *p = first_edge[i]; p; p = p -> next)//              if (!p -> cap && p -> dest) { printf("%d %d\n", i, p -> dest);/* break;*/ }    }    return 0;}

从这题中可以发现网络流的一个特征，它的题目难点在于“建模”。如何将问题的模型进行转化，从而对网络中的点、边、流赋予具体的含义，是重中之重。
因此，网络流题目的描述将不会再像之前的图论题一样，有非常明显的顶点、边的暗示，而是要靠自己去探索和发现。这就需要多加练习，掌握其中的规律。