树链剖分原理与应用

树链剖分这个算法我看了好多大神们的博客，才慢慢领悟，希望我写的过得去( ·  · )

众所周知，维护区间信息的题目可以用线段树高效实现。类似于区间这样一维的结构，在树上维护两点间的信息【比如树上两点之间的最大值】也可以用线段树吗？

仔细想想，好像很难实现。因为线段树维护的是链状结构，而树是一张图。

但我们想想，如果能把一棵树化为一条链，使得要节点间编号是一段一段的【也就是有些节点间的编号是连续的，但不是所有节点间都连续】，这样就可以通过多次调用维护区间的线段树来实现线段树维护树【两点之间有几个连续的段就调用几次】

这就是树链剖分要做的事情：把树分成许多条链，对节点重新编号，化树为链，以套用其他链状数据结构

怎么剖？

最好的就是剖分轻重链。

首先，我们先维护一些节点的信息：

siz[u]      以u为根的子树的大小

fa[u]       u的父亲节点

dep[u]    u的深度

son[u]    u的重儿子

top[u]     u所在重链的顶端节点

id[u]       树链剖分后u节点的编号

对于每一个非叶节点，它所有儿子中siz最大的那个就是它的重儿子。

对于前4项，我们可以通过一次dfs完成

看代码：

void dfs1(int u,int d,int f){int to;fa[u]=f;dep[u]=++d;siz[u]=1;for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next)if((to=edge[k].to)!=f){dfs1(to,d,u);siz[u]+=siz[to];if(!son[u]||siz[son[u]]<siz[to]) son[u]=to;}}

对于top和id,我们需要再进行一次dfs,这次dfs优先往重儿子，这样子dfs序就是id，因为这样你会发现：

1、对于每个重链，它上边的节点编号一定是连续的

2、对于每个节点，以它为根的子树里的所有节点一定是它接下来的那些编号【比如一个节点编号2，它为根的子树大小6，那么接下来3、4、5、6、7一定在它的子树里】

这两个性质有什么用呢？

当我们要维护两节点间的信息时，我们只需沿着重链就可以套用线段树了【因为编号是连续的】（性质1）

当我们要维护某一个子树信息时，我们只需维护区间[id[u],id[u]+siz[u]-1]（性质2）

具体实现：

void dfs2(int u,int f,int flag){id[u]=++cnt;Hash[cnt]=u;flag ? top[u]=top[f]:top[u]=u;if(son[u]) dfs2(son[u],u,1);int to;for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next){if((to=edge[k].to)!=f&&to!=son[u])dfs2(to,u,0);}}

就这样子，我们就“剖”完了(^_^)

代码还是很容易理解的，多打打

树链剖分求LCA &树链剖分+线段树

为什么放在一起？因为这两个玩意原理一样。

对于节点u和v，它们在一个重链里，当且仅当top[u]==top[v]成立

若它们不在一个重链，我们不妨设top[u]的深度较大，那么我们令u=fa[top[u]]，继续往上找。

在寻找过程中经过的路径就是u和v之间的路径，u最后到达的节点就是lca

这里就不在赘述了【我懒。。。】

拍上一个树链剖分模板题：

洛谷P3384 【模板】树链剖分

题目描述

如题，已知一棵包含N个结点的树（连通且无环），每个节点上包含一个数值，需要支持以下操作：

操作1： 格式： 1 x y z 表示将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z

操作2： 格式： 2 x y 表示求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和

操作3： 格式： 3 x z 表示将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z

操作4： 格式： 4 x 表示求以x为根节点的子树内所有节点值之和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含4个正整数N、M、R、P，分别表示树的结点个数、操作个数、根节点序号和取模数（即所有的输出结果均对此取模）。

接下来一行包含N个非负整数，分别依次表示各个节点上初始的数值。

接下来N-1行每行包含两个整数x、y，表示点x和点y之间连有一条边（保证无环且连通）

接下来M行每行包含若干个正整数，每行表示一个操作，格式如下：

操作1： 1 x y z

操作2： 2 x y

操作3： 3 x z

操作4： 4 x

输出格式：

输出包含若干行，分别依次表示每个操作2或操作4所得的结果（对P取模）

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 2 247 3 7 8 0 1 21 53 14 13 4 23 2 24 51 5 1 32 1 3

输出样例#1：

221

说明

时空限制：1s，128M

数据规模：

对于30%的数据： $N\le 10,M\le 10$

对于70%的数据： N≤103,M≤103 N \leq {10}^3, M \leq {10}^3N≤10​3​​,M≤10​3​​

对于100%的数据： N≤105,M≤105 N \leq {10}^5, M \leq {10}^5N≤10​5​​,M≤10​5

经典的模板题，直接拍代码，慢慢体会：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int maxn=100005,INF=200000000;inline int read(){int out=0,flag=1;char c=getchar();while(c<48||c>57) {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}while(c>=48&&c<=57) {out=out*10+c-48;c=getchar();}return out*flag;}int N,M,rt,P;int A[maxn];int head[maxn],nedge=0;struct EDGE{int to,next;}edge[2*maxn];inline void build(int a,int b){edge[nedge]=(EDGE){b,head[a]};head[a]=nedge++;edge[nedge]=(EDGE){a,head[b]};head[b]=nedge++;}int siz[maxn],fa[maxn],son[maxn],dep[maxn],top[maxn],id[maxn],Hash[maxn],cnt=0;void dfs1(int u,int d,int f){int to;fa[u]=f;dep[u]=++d;siz[u]=1;for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next)if((to=edge[k].to)!=f){dfs1(to,d,u);siz[u]+=siz[to];if(!son[u]||siz[son[u]]<siz[to]) son[u]=to;}}void dfs2(int u,int f,int flag){id[u]=++cnt;Hash[cnt]=u;flag ? top[u]=top[f]:top[u]=u;if(son[u]) dfs2(son[u],u,1);int to;for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next){if((to=edge[k].to)!=f&&to!=son[u])dfs2(to,u,0);}}int L,R,sum[4*maxn],lazy[4*maxn];void build(int u,int l,int r){if(l==r) sum[u]=A[Hash[l]];else{int mid=(l+r)>>1;build(u<<1,l,mid);build(u<<1|1,mid+1,r);sum[u]=(sum[u<<1]+sum[u<<1|1])%P;}}void pd(int u,int l,int r){int mid=(l+r)>>1;sum[u<<1]=(sum[u<<1]+lazy[u]*(mid-l+1)%P)%P;sum[u<<1|1]=(sum[u<<1|1]+lazy[u]*(r-mid)%P)%P;lazy[u<<1]=(lazy[u<<1]+lazy[u])%P;lazy[u<<1|1]=(lazy[u<<1|1]+lazy[u])%P;lazy[u]=0;}void add(int u,int l,int r,int v){if(l>=L&&r<=R) {sum[u]=(sum[u]+(r-l+1)*v%P)%P;lazy[u]=(lazy[u]+v)%P;}else{if(lazy[u]) pd(u,l,r);int mid=(l+r)>>1;if(mid>=L) add(u<<1,l,mid,v);if(mid<R) add(u<<1|1,mid+1,r,v);sum[u]=(sum[u<<1]+sum[u<<1|1])%P;}}int Query(int u,int l,int r){if(l>=L&&r<=R) return sum[u];else{if(lazy[u]) pd(u,l,r);int mid=(l+r)>>1;if(mid>=R) return Query(u<<1,l,mid);else if(mid<L) return Query(u<<1|1,mid+1,r);else return (Query(u<<1,l,mid)+Query(u<<1|1,mid+1,r))%P;}}void solve1(int u,int v,int x){while(top[u]!=top[v]){if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);L=id[top[u]];R=id[u];add(1,1,N,x);u=fa[top[u]];}if(id[u]>id[v]) swap(u,v);L=id[u];R=id[v];add(1,1,N,x);}void solve2(int u,int v){int ans=0;while(top[u]!=top[v]){if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);L=id[top[u]];R=id[u];ans=(ans+Query(1,1,N))%P;u=fa[top[u]];}if(id[u]>id[v]) swap(u,v);L=id[u];R=id[v];ans=(ans+Query(1,1,N))%P;printf("%d\n",ans);}void solve3(int u,int v){L=id[u];R=id[u]+siz[u]-1;add(1,1,N,v);}void solve4(int u){L=id[u];R=id[u]+siz[u]-1;printf("%d\n",Query(1,1,N));}int main(){fill(head,head+maxn,-1);N=read();M=read();rt=read();P=read();int a,b,cmd;for(int i=1;i<=N;i++) A[i]=read();for(int i=1;i<N;i++){a=read();b=read();build(a,b);}dfs1(rt,0,0);dfs2(rt,0,0);//for(int i=1;i<=N;i++) printf("%d ",Hash[i]);cout<<endl;build(1,1,N);while(M--){cmd=read();a=read();switch(cmd){case 1:b=read();solve1(a,b,read());break;case 2:b=read();solve2(a,b);break;case 3:b=read();solve3(a,b);break;case 4:solve4(a);break;default:break;}}return 0;}

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