第8章空间解析几何与向量代数

来源：互联网发布：apache官网下载编辑：程序博客网时间：2024/06/07 15:08

向量概念
- 自由向量概念
- 向量相等概念
- 向量的模概念
- 单位向量概念
- 零向量概念
- 向量的夹角概念
- 向量共线概念
- 向量共面概念
向量的线性运算
- 向量的加减法
  - 交换律
  - 结合律
  - 负向量
- 向量与数的乘法
  - 结合律
  - 分配律
  - 定理：设向量 a≠0 ,那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是，存在唯一的实数 λ，使 b=λa .
空间直角坐标系
利用坐标向量的线性运算
- 设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)，既 a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk
- a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k
- a−b=(ax−bx)i+(ay−by)j+(az−bz)k
- λa=(λax)i+(λay)j+(λaz)k
向量的模、方向角、投影
- 向量的模 |r|=x2+y2+z2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√
- 向量的模 |AB|=AB−→−=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√
- 方向角的概念
- 投影概念

平面的点法式方程
- 平面上任一点(M(x,y,z)), 法线向量 n(A,B,C)，满足 n∙M0M−→−−−=0
- 点法一般方程：A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
平面的一般方程
- Ax+By+Cz+D=0，是 n(A,B,C) 为法向量的平面一般方程
平面截距式方程
$x a + y b + z c = 1, a,b,c 依次叫做平面在 x,y,z 轴上的截距$
两平面的夹角
- 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角。
  $cos θ = | A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 2 B 2 | A 2 1 + B 2 1 + C 2 1 ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt A 2 2 + B 2 2 + C 2 2 ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt$

空间直线的一般方程
$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0$
空间直线的对称式方程与参数方程
- 方向向量概念
- 对称式方程(点向式方程)，设点 M(x,y,z) , 那么向量 M0M−→−−−=(x−x0,y−y0,z−z0) 与方向向量 s=(m,n,p) 平行，从而有 $x - x 0 m = y - y 0 n = z - z 0 p = t$
- 直线的参数方程
  $⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x = m t + x 0 y = n t + y 0 z = p t + z 0$
两直线的夹角
- 两个方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角 $cos θ = | m 1 m 2 + n 1 n 2 + p 1 p 2 | m 2 1 + n 2 1 + p 2 1 ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt m 2 2 + n 2 2 + p 2 2 ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt$
- 推论
- 两直线互相垂直相当于m1m2+n1n2+p1p2=0
- 两直线互相平行或重合相当于 $m 1 m 2 = n 1 n 2 = p 1 p 2$
直线与平面的夹角
- 设直线的方向向量为s=(m,n,p)，平面的法线向量为n=(A,B,C)，直线与平面的夹角为φ，那么 φ=∣∣π2−(s,n)ˆ∣∣，因此sinφ=∣∣cos(s,n)ˆ∣∣。 $sin φ = | A m + B n + C p | A 2 + B 2 + C 2 ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt m 2 + n 2 + p 2 ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ \sqrt$
- 直线与平面垂直相当于 $A m = B n = C p$
- 直线与平面平行相当于 Am+Bn+Cp=0

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第8章 空间解析几何与向量代数