质数筛检法
来源：互联网 发布：mysql如何导出sql文件 编辑：程序博客网 时间：2024/06/05 21:07
我们要知道什么是质数，简单来说就是：除了1和本身能整除以外，其余的数都不可以。
让我们来一步一步的了解一下质数选取的“进化”。
在我们刚刚接触质数的时候我们是在小学的时候，那时候就是直接用1到n之间的所有的数去让n除一遍，就可以得出我们想要的结果了。
具体代码如下：
#include <stdio.h>int main(){ int n,i,j; scanf("%d",&n); for( i=1;i<=n;i++) { for( j=2;j<i;j++) { if(i%j==0) break; } if(j==i) printf("%d\n",i); } return 0;}时间复杂度：O(n)
之后我们在不断的学习数学的时候，我们发现其实我们除的数，只需要到n/2就可以了，甚至到sqrt(n)就可以了。不需要这么多。
跟进一步的我们学习了，求到根号下n，也可以了。
#include <stdio.h>#include <math.h>int cmp(int n){ if(n<=1) return 0; for(int i=2; i<=sqrt(n); i++) { if(n%i==0) return 0; } return 1;}int main(){ int n,i,j; scanf("%d",&n); for( i=1; i<=n; i++) { if(cmp(i)==1) printf("%d\n",i); } return 0;}时间复杂度：O(sqrt(n))
不过随着时代的脚步，我们发现根本最不上了，很多代码都是TimeLimitExceeded，搞的我好烦，（每次都想砸电脑。气死人的存在。）
附上一个比较简单部分代码：
for(i=2; i<N; i++){ if(i%2) prime[i]=1; else prime[i]=0; } for(i=3; i<=sqrt(N); i++) { if(prime[i]==1) for(j=i+i; j<N; j+=i) prime[j]=0; }随我们不断学习，其实我们发现了一个规律。
就是如果一个数他是质数，那么他的倍数，是不是就是代表着那个数不是质数。
对，如果是这样的话，时间应该是减少了不知道多少倍。
看一个样例具体解释一下：看一组数字：2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
我们先全部假设他为质数：我们先找到了质数2，那么我们就把他的倍数，全部删除掉。之后我们得到的数组是这个。
变化一：2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
之后我们选择后面一个质数：3，那么我们就把他的倍数，全部删除掉。之后我们得到的数组是这个。
变化二：2 3 5 7 11 13 17 19 23 25
之后我们选择后面一个质数：5，那么我们就把他的倍数，全部删除掉。之后我们得到的数组是这个。
变化三：2 3 5 7 11 13 17 19 23 25
以此类推，我们就可以选择1到25之间所有的质数了。
通过上面的案例分析我们就可以对应的敲出代码了
具体代码如下：
#include<stdio.h>int main(){ ///假如他们都是质数，初始化 memset(a,0,sizeof(a)); int i,j,n; ///注意a[1] = 1，因为我们最先排除的非质数就是他了。 a[1]=1; for(i=2; i<=n; i++) { if(a[i]==0) { ///把他的倍数全部去掉。 for(j=i+i; j<=n; j+=i) { a[j]=1; } } } while(scanf("%d",&n),n) { for(int i=2; i<=n; i++) { if(a[i]==0) { printf("%d ",i); } } printf("\n"); } return 0;}在一道题目中，我加深了质数筛检法的应用，以上面的例子为例，我们可以看见其实他只要筛检个3次就可以了，对不对。但是为了保险我们还是得全部遍历一遍，那有什么办法可以在他的基础上面更加的节约呢？因为我们可能出现10^30次方的数，那我们又怎么办呢？不禁思考了一番。学习java的伙伴们就好了，有自带的判断器。具体代码如下：
import java.util.Scanner; import java.math.*; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner cin = new Scanner(System.in); BigInteger x; x=cin.nextBigInteger(); if(x.isProbablePrime(1)) System.out.println("Yes"); else System.out.println("No"); } } 但是我们没有学习java的怎么办，采用什么办法呢？对此，我只能说一句“抱歉，我现在也没有想出更好的办法。”
但是我可以把质数筛检的时间剪短一点，让他可以检测更大的数字，是不是质数。（缩减代码范围：n<=2000000,更大的应该不要超过10^8到10^10左右。更大我没有试过，但是大致是这个范围左右）
方法一：“缩半的质数筛检法”
上面的例子，我们其实只要3次就可以了，是不是。最大值是25，因为我们的范围不能超过25，所以我们找一个数字使得他的平方最接近于最大值，检测2到他的倍数，用于循环去数，是不是代表着，我们可以在质数筛检法的时间复杂度上面，减少一倍啊。（想想都有点激动啊），话不多说，我们试一试这种思路，检测一下1到100，之间的质数是不是可以的。
样例输入100：（质数筛检法）（缩半的质数筛检法）
在此我们发现，运行结果一样的那么我们是不是可以去试一试呢？（激动，更加激动了。）
具体代码如下：（求2000000之间的质数代码）
#include <stdio.h>#include <math.h>#define MAX 2000000int a[MAX];int main(){ int i,j,n; for(i=2;i<=sqrt(MAX)+1;i++) { if(a[i]==0) { for(j=i+i;j<=MAX;j+=i) { a[j]=1; } } } while(scanf("%d",&n),n) { for(i=2;i<=n;i++) if(!a[i]) printf("%d ",i); printf("\n"); } return 0;}方法二：“废物利用质数筛检法”
假如我们全部设为质数，存起来，如果一个数是之前的某一个的质数的倍数，那么我们上面的代码，是不是直接continue了，不要了。是质数，是不是质数用了那么一次呢？
NO,NO,NO。下面我们讲一个更好的办法，时间可以更短的办法，
如果他不是质数或者他是质数，那们我就用他去乘以我们存起来的质数，得到的数是不是不是质数，只要他不超过我们的最大值n，是不是都可以淘汰掉一个值，哈哈，全部都得利用起来。
具体代码如下：
#include<stdio.h>#include<string.h>#define MAX 2000001#define MAX_PRIME 2000001bool nums[MAX];int prime[MAX_PRIME];void MakePrime(){ int i,j; int pl=0; nums[0]=1,nums[1]=1; memset(prime,true,sizeof(prime)); for(i=2; i<MAX; i++) { if(!nums[i]) prime[pl++]=i; for(j=0; j<pl&&i*prime[j]<=MAX; j++) { nums[i*prime[j]]=1; if(!(i%prime[j])) break; } }}int main(){ int n,j; MakePrime(); while(scanf("%d",&n)!=EOF) { if(n>1) { printf("2"); for(j=1; prime[j]<=n; j++) { printf(" %d",prime[j]); } } printf("\n"); } return 0;}该代码来自于：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=187中的最优代码，（先得过，之后才可以看到的代码，要积分的、）
好了，方法都说完了，写的也差不多了。如果数据达到10^30次方大，我只能说一句，那不是质数筛检法了，因为那是用字符串处理的数据了。质数筛检法，前提就是要用long long或者int存的下，之后就是数组开辟，要开辟成功。否则，就不能使用了。
有兴趣的可以去写一下这道题目：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=187或者想找10^30次方那么大的，你们可以去这个链接写一下：https://vjudge.net/contest/174696#problem/Q 
