浅谈树链剖分

首先把一个知识摆在前面:倍增。
这是个非常优秀的算法，他普遍应用与何处呢？像树上的倍增求LCA，序列中的倍增RMQ之类的算法，倍增在dp中也有广泛应用，可以大大优化时间和空间。
但是我相信，各位读者都是比本人智商高的人，于是倍增只讲讲一个RMQ。
RMQ有一个很优秀的算法就是DP。这个大家都很熟悉，众所周知，RMQ中多加一个修改操作，那么DP就失去的它的用武之地，也就是说，倍增在这里就不管用了。那么，就引出了重点内容——树链剖分。
树链剖分的目的是对树路径信息维护。将一棵树划分成若干条链，用数据结构去维护每条链，复杂度为O(logN)。
但是如何分呢？分成什么呢？
将树中的边分为：轻边和重边
定义siz(x)为以x为根的子树的节点个数。
令v为u的儿子节点中siz值最大的节点，那么边(u,v)被称为重边，树中重边之外的边被称为轻边。

上图节点中的数表示儿子数量。粗边为重边。其余的为轻边。
我们称某条路径为重链，重链是由重边组成。
top[x]表示x所属重链的起点。

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
top[x] 1 1 3 4 5 1 4 1 4

轻边(U,V)，siz(V)<=siz(U)/2。从根到某一点的路径上，不超过O(logN)条轻边，不超过O(logN)条重路径。

然后大家就看完了概念，现在我们来考虑如何实现。

数链剖分的过程为2次dfs
第一次：按照定义找出重边、重儿子
第二次：按照优先走重边的原则走出一个dfs序，x在dfs序中的位置记为tree[x]，并算出每个点所属重链的起点top[x]。
剖分完之后，每条重链就相当于一段区间，用数据结构(如线段树等)去维护。
把所有的重链首尾相接，放到同一个数据结构上，然后维护这一个整体即可。

如果u和v在同一条重链上，直接用数据结构修改tree[u]至tree[v]间的值或查询答案。
如果u和v不在同一条重链上 一边进行修改，一边将u和v往同一条重链上靠，然后就变成了上面的情况。
具体操作：我们把深度较大的一方x跳到他的fa[top[x]]上，并修改或查询tree[top[x]]~tree[x]
由于一条重链在数据结构中是一段连续的区间，所以直接查询tree[top[x]]~tree[x]是没问题的。

然后就几乎没啦。

证明一下时间复杂度。
一条路径由于被分成logN条重链，每条重链又对数据结构进行一次搜索，所以一次操作的复杂度为O(logN*数据结构的复杂度)。
假如用LCT来维护的话就是O(logN)了。

最后，丢下一道经典例题：
【ZJOI2008】树的统计
Description

　　一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。
　　我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：
　　I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t
　　II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值
　　III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和
　　注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

　　输入文件的第一行为一个整数n，表示节点的个数。
　　接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。
　　接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。
　　接下来1行，为一个整数q，表示操作的总数。
　　接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。

Output

　　对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

Sample Output

4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

Data Constraint
　　对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

本题显然树链剖分，大家可以把本题作为树链剖分的入门题，开心地虐题把~~~

Code：

uses math;var        i,j,k,l,n,m,num,x,y,tot,gs:longint;        small,ans:int64;        tov,last,next,siz,son,dep,fa,tree,pre,top,f,a,tmax:array[1..800000] of int64;        ch:char;procedure maketree(x,st,en:longint);var        m:longint;begin        if st=en then        begin                f[x]:=a[pre[st]];                tmax[x]:=a[pre[st]];        end    else    begin            m:=(st+en) div 2;        maketree(x*2,st,m);        maketree(x*2+1,m+1,en);                tmax[x]:=max(tmax[x*2],tmax[x*2+1]);                f[x]:=f[x*2]+f[x*2+1];    end;end;procedure change(v,x,l,r,y:longint);var        i,j,mid:longint;begin        if l=r then        begin                tmax[v]:=y;                f[v]:=y;                exit;        end;        mid:=(r+l) div 2;        if x>mid then        begin                change(v*2+1,x,mid+1,r,y);        end        else        begin                change(v*2,x,l,mid,y);        end;        tmax[v]:=max(tmax[v*2],tmax[v*2+1]);        f[v]:=f[v*2]+f[v*2+1];end;procedure findsum(x,st,en,l,r:longint);var        m:longint;begin        if (st>=l) and (en<=r) then ans:=ans+f[x]    else    begin            m:=(st+en) div 2;        if r<=m then findsum(x*2,st,m,l,r)        else                begin                if l>m then findsum(x*2+1,m+1,en,l,r)            else            begin                    findsum(x*2,st,m,l,m);                findsum(x*2+1,m+1,en,m+1,r);                end;                end;    end;end;procedure findmax(x,st,en,l,r:longint);var        m:longint;begin        if (st>=l) and (en<=r) then ans:=max(ans,tmax[x])    else    begin            m:=(st+en) div 2;        if r<=m then findmax(x*2,st,m,l,r)        else                begin                if l>m then findmax(x*2+1,m+1,en,l,r)            else            begin                    findmax(x*2,st,m,l,m);                findmax(x*2+1,m+1,en,m+1,r);                end;                end;    end;end;procedure dfsfd(v,f,d:longint);var        i,j,k,l:longint;begin        fa[v]:=f;        dep[v]:=d;        siz[v]:=1;        i:=last[v];        while i<>0 do        begin                if tov[i]<>fa[v] then                begin                        dfsfd(tov[i],v,d+1);                        siz[v]:=siz[v]+siz[tov[i]];                        if (son[v]=0) or (siz[tov[i]]>siz[son[v]]) then son[v]:=tov[i];                end;                i:=next[i];        end;end;procedure dfs(v,num:longint);var        i,j,k,l:longint;begin        inc(gs);        tree[v]:=gs;        top[v]:=num;        pre[tree[v]]:=v;        if son[v]=0 then exit;        dfs(son[v],num);        i:=last[v];        while i<>0 do        begin                if tov[i]<>fa[v] then                begin                        if tov[i]<>son[v] then                        begin                                dfs(tov[i],tov[i]);                        end;                end;                i:=next[i];        end;end;function getmax(x,y:int64):int64;var        i,j,tx,ty:longint;        k:int64;begin        tx:=top[x];        ty:=top[y];        k:=small;        while tx<>ty do        begin                if dep[tx]<dep[ty] then                begin                        ans:=small;                        findmax(1,1,n,min(tree[y],tree[ty]),max(tree[ty],tree[y]));                        k:=max(k,ans);                        y:=fa[ty];                        ty:=top[y];                end                else                begin                        ans:=small;                        findmax(1,1,n,min(tree[x],tree[tx]),max(tree[tx],tree[x]));                        k:=max(k,ans);                        x:=fa[tx];                        tx:=top[x];                end;        end;        if dep[x]>dep[y] then        begin                ans:=small;                findmax(1,1,n,tree[y],tree[x]);                k:=max(k,ans);        end        else        begin                ans:=small;                findmax(1,1,n,tree[x],tree[y]);                k:=max(k,ans);        end;        exit(k);end;function getsum(x,y:int64):int64;var        i,j,tx,ty,k:longint;begin        tx:=top[x];        ty:=top[y];        k:=0;        while tx<>ty do        begin                if dep[tx]<dep[ty] then                begin                        ans:=0;                        findsum(1,1,n,min(tree[y],tree[ty]),max(tree[ty],tree[y]));                        k:=k+ans;                        y:=fa[ty];                        ty:=top[y];                end                else                begin                        ans:=0;                        findsum(1,1,n,min(tree[x],tree[tx]),max(tree[tx],tree[x]));                        k:=k+ans;                        x:=fa[tx];                        tx:=top[x];                end;        end;        if dep[x]>dep[y] then        begin                ans:=0;                findsum(1,1,n,tree[y],tree[x]);                k:=k+ans;        end        else        begin                ans:=0;                findsum(1,1,n,tree[x],tree[y]);                k:=k+ans;        end;        exit(k);end;procedure insert(x,y:longint);begin        inc(tot);        tov[tot]:=y;        next[tot]:=last[x];        last[x]:=tot;end;begin        readln(n);        for i:=1 to n-1 do        begin                readln(x,y);                insert(x,y);                insert(y,x);        end;        for i:=1 to n do        begin                read(a[i]);        end;        fillchar(tmax,sizeof(tmax),128);        fillchar(f,sizeof(f),0);        small:=tmax[1];        dfsfd(1,0,1);        dfs(1,1);        maketree(1,1,n);        readln(m);        for i:=1 to m do        begin                if i=9 then                ch:=' ';                read(ch);                if ch='Q' then                begin                        read(ch);                        if ch='M' then                        begin                                for j:=1 to 3 do read(ch);                                readln(x,y);                                writeln(getmax(x,y));                        end                        else                        if ch='S' then                        begin                                for j:=1 to 3 do read(ch);                                readln(x,y);                                writeln(getsum(x,y));                        end;                end                else                if ch='C' then                begin                        for j:=1 to 6 do read(ch);                        readln(x,y);                        change(1,tree[x],1,n,y);                        a[x]:=y;                end;        end;end.

说在最后:
树链剖分是一个方法，思路，只要多去找题练习，就可以很好掌握。它的应用范围特别广阔，所以，早学晚学都是可以的~