[算法与数据结构]

多重背包，对完全背包的又一改进。有 N 种物品和一个容量为 V 的背包。第 i 种物品最多有 Mi 件可用，每件耗费的空间是 Ci，价值是 Wi。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大？

由此，我们可以得出和完全背包比较相似的状态转移方程：

F [i，v] = max { F [i − 1，v − kCi] + kWi | 0 ≤ k≤ num[i] }

同样，我们使用一维数组进行表示。和完全背包的代码相比，其代码只是多了一个中间的循环，k=0~num[i]，表示把第i中背包从取0件枚举到取num[i]件。

（注意这里k的取值是[0 , num[i] ) 一共有num[i]次循环，切不可写为[0 , num[i]  这样就有num[i]+1次循环。可以想象一下，我们的01背包，当只有一个的时候是没有这个中间的循环得，相当于v的循环只执行一次，而这里有物品的数量为num[i]，所以v的循环应该循环num[i]次）

我们依然找到一个例子测试一下：

#include <iostream>using namespace std;int main(){    int dp[6002];    int v[502];    int w[502];    int num[502];    int n,m;    while(cin >>n>>m&&n>0&&m>0)    {        for(int i = 1; i<=n; i++)        {            cin>>v[i]>>w[i]>>num[i];        }        for(int j = 0; j<=m; j++)        {            dp[j] = 0;        }        for(int i = 1; i <= n; i++)        {            for(int k = 0; k<num[i]; k++)            {                for(int j = m; j>=0; j--)                {                    if(j>=v[i]&&dp[j]<dp[j-v[i]]+w[i])                    {                        dp[j] = dp[j-v[i]]+w[i];                    }                }            }        }        cout<<dp[m]<<endl;    }    return 0;}

在这里我们总结一下使用一维数组实现01背包，安全背包，多重背包的时候都有那些注意点：

N 为物品种类，V为背包空间，v[i]和w[i]分别代表物品空间和价值

1. 01背包

for i = 1 to N

        for j = V to v[i]

.......

2. 完全背包

for i = 1 to N

        for j = v[i] to V

.......

3. 多重背包

for i = 1 to N

for k = 0 to num[i] - 1 ( 一共num[i]次)

                for j = V to v[i] (为什么和01背包一样是逆序呢？想想，如果所有的num[i]都等于1，那不就是01背包了么？)

.......

完全背包详解

01背包详解

P.S. 文章不妥之处还望指正