URAL 1996 Cipher Message 3 (FFT + KMP)

来源：互联网发布：yonex 网球拍知乎编辑：程序博客网时间：2024/05/20 21:48

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题意：给出两个串A ， B，每个串是若干个byte，A串的每个byte的最后一个bit是可以修改的。问最少修改多少，使得B串是A的一个子串。

做法：前7位都是不能修改的，所以要完全匹配，那么先按前7位KMP一下，记录匹配的位置。之后就是统计以这些位置开始，需要修改多少位，然后取最小值。

所以提取出最后一个bit，成了两个01串，统计hamming distance。

记得若干年前就和队友讨论过这个问题，不过当时不是01串，觉得不可在n * m之内解决，然后就放弃了。结果这个01串是可以在nlgn解决的。吓傻。。

两个01串a , b。将b反转之后，求一次卷积，便可以得到a串中以i为起始位置，与b进行匹配有多少个位置同为1。

那么接下来把a,b的01反转一下，再求一次卷积，就可以得到原串中为多少个位置同为0。就得到了hamming距离。

卷积求的是c[i + j] = a[i] * b[j]。由于我们将b进行了反转，所以a串中以i为起始位置的。

c[i + m - 1] = a[i + 0] * b[m - 0 - 1] + a[i + 1] * b[m - 1 - 1] + …… a[i + j] * b[m - j - 1] + …… a[i + m - 1] * b[m - (m - 1) - 1]。

如果a , b中同为1,乘积为1,否则为0,这样就统计出了有多少位同为1了。吓傻。。。太神了。

预处理出这个之后，再枚举之前KMP所得到的匹配位置就可以了。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>#include <vector>#include <algorithm>#include <queue>#include <set>using namespace std;typedef long long LL;typedef pair<int , int> pii;const int N = 1000005;//FFT copy from kuangbin      const double pi = acos (-1.0);      // Complex  z = a + b * i        struct Complex {          double a, b;          Complex(double _a=0.0,double _b=0.0):a(_a),b(_b){}          Complex operator + (const Complex &c) const {              return Complex(a + c.a , b + c.b);          }          Complex operator - (const Complex &c) const {              return Complex(a - c.a , b - c.b);          }          Complex operator * (const Complex &c) const {              return Complex(a * c.a - b * c.b , a * c.b + b * c.a);          }      };      //len = 2 ^ k      inline void change (Complex y[] , int len) {          for (int i = 1 , j = len / 2 ; i < len -1 ; i ++) {              if (i < j) swap(y[i] , y[j]);              int k = len / 2;              while (j >= k) {                  j -= k;                  k /= 2;              }              if(j < k) j += k;          }       }      // FFT       // len = 2 ^ k      // on = 1  DFT    on = -1 IDFT      inline void FFT (Complex y[], int len , int on) {          change (y , len);          for (int h = 2 ; h <= len ; h <<= 1) {              Complex wn(cos (-on * 2 * pi / h), sin (-on * 2 * pi / h));              for (int j = 0 ; j < len ; j += h) {                  Complex w(1 , 0);                  for (int k = j ; k < j + h / 2 ; k ++) {                      Complex u = y[k];                      Complex t = w * y [k + h / 2];                      y[k] = u + t;                      y[k + h / 2] = u - t;                      w = w * wn;                  }              }          }          if (on == -1) {              for (int i = 0 ; i < len ; i ++) {                  y[i].a /= len;              }          }      }    int n , m , a[N] , b[N];int c[N] , d[N] , next[N] , p[N];char str[10];void get_next (int *a , int l) {    int i = 0 , j = -1;    next[i] = j;    while (i < l) {        if (j == -1 || a[i] == a[j]) {            i ++; j ++;            next[i] = j;        }        else j = next[j];    }}int pos[N] , cnt;void match (int *a , int la , int *b , int lb) {    int i = 0 , j = 0;    while (i < la) {        if (j == -1 || a[i] == b[j]) {            i ++;j ++;            if (j == lb) {                pos[cnt ++] = i - lb;                j = next[j];            }        }        else j = next[j];    }}Complex x1[N] , x2[N];void gao (int *a , int *b) {    int len = max (n , m);    int l = 1;    while (l < len * 2) l <<= 1;    for (int i = 0 ; i < n ; i ++)        x1[i] = Complex (a[i] , 0);    for (int i = n ; i < l ; i ++)        x1[i] = Complex (0 , 0);    FFT (x1 , l , 1);    for (int i = 0 ; i < m ; i ++)        x2[i] = Complex (b[i] , 0);    for (int i = m ; i < l ; i ++)        x2[i] = Complex (0 , 0);    FFT (x2 , l , 1);    for (int i = 0 ; i < l ; i ++)        x1[i] = x1[i] * x2[i];    FFT (x1 , l , -1);    for (int i = 0 ; i <= n - m ; i ++) {        p[i] += (int)(x1[i + m - 1].a + 0.5);    }}int main () {     while (scanf ("%d %d" , &n , &m) != EOF) {        for (int i = 0 ; i < n ; i ++) {            scanf ("%s" , str);            a[i] = 0;            for (int j = 0 ; j < 7 ; j ++)                a[i] = a[i] * 2 + str[j] - '0';            c[i] = str[7] - '0';        }        for (int i = 0 ; i < m ; i ++) {            scanf ("%s" , str);            b[i] = 0;            for (int j = 0 ; j < 7 ; j ++)                b[i] = b[i] * 2 + str[j] - '0';            d[m - i - 1] = str[7] - '0';        }        get_next (b , m);        cnt = 0;        match (a , n , b , m);        if (cnt == 0) puts ("No");        else {            memset (p , 0 , sizeof(p));            puts ("Yes");            gao (c , d);            for (int i = 0 ; i < n ; i ++)                c[i] = c[i] ^ 1;            for (int i = 0 ; i < m ; i ++)                d[i] = d[i] ^ 1;            gao (c , d);            int ans = m + 1 , idx = -1;            for (int i = 0 ; i < cnt ; i ++) {                if (m - p[pos[i]] < ans)                    ans = m - p[pos[i]] , idx = pos[i];            }            printf ("%d %d\n" , ans , idx + 1);        }    }    return 0;}

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