HDU

Minimum Inversion Number

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Problem Description

The inversion number of a given number sequence a1, a2, ..., an is the number of pairs (ai, aj) that satisfy i < j and ai > aj.

For a given sequence of numbers a1, a2, ..., an, if we move the first m >= 0 numbers to the end of the seqence, we will obtain another sequence. There are totally n such sequences as the following:

a1, a2, ..., an-1, an (where m = 0 - the initial seqence)
a2, a3, ..., an, a1 (where m = 1)
a3, a4, ..., an, a1, a2 (where m = 2)
...
an, a1, a2, ..., an-1 (where m = n-1)

You are asked to write a program to find the minimum inversion number out of the above sequences.

 

Input

The input consists of a number of test cases. Each case consists of two lines: the first line contains a positive integer n (n <= 5000); the next line contains a permutation of the n integers from 0 to n-1.

 

Output

For each case, output the minimum inversion number on a single line.

 

Sample Input

101 3 6 9 0 8 5 7 4 2

 

Sample Output

16

 

Author

CHEN, Gaoli

 

Source

ZOJ Monthly, January 2003 

 

题意：给你一个0到n-1的一个数列，你可以将这个数列的前m项移到最后，可以得到一个新的数列，0 ≤ m < n ，就是一共有n个数列，找到其中逆序对数最少的，并输出该逆序对数。

逆序对就是一个序列中一对数（A[i],A[j]）满足A[i]>A[j]且 i < j 条件

求一个序列的逆序对数有以下几种方法：

1、比较暴力的来，对每一个数求它有多少个逆序对，最后求和，两个for循环就行了。O（n^2）

2、归并（这个不怎么会）。

3、树状数组，可以边放边找（按值，找已经放入的数中小于等于该值的数有几个，减去放入的总数就是在该数放入前的比该数大的数，就是该数对应的逆序对数），也可以放完后再从大到小放（按位置，开一个数组标记每个位置的数放了没，刚开始初始化所有位置为0，每放入一个数，将该数对应位置的值更变为1，因为是从大到小放入的，所以每次放入时整个数组中只有比该值大的数对应位置的值为1，所以只要求区间[1,pos]内数组的和就行了，该值代表该数对应的逆序对数，pos为该数对应位置）。O（n lg n）

思路：如果直接对n个数列进行求对应的逆序对数，时间复杂度就是O（n^2lgn），n≤5000，会TLE。所以这样不行。说明应该可以有一推多，然后推一下，就可以发现当把一个序列的第一个数ai从整个数列中拿出，该数列会减少ai个逆序对数（ai从0至n-1，若ai为1至n则减少a1-1个），再将其放至数列尾部，该数列会增加n-1-ai个逆序对数（ai从0至n-1，若ai为1至n则增加n-ai个），就可以基于第一次得到的逆序对数快速的求出剩余的n-1个数列对应的逆序对数找到最小值。

//树状数组#include<iostream>#include<string.h>#include<stdio.h>using namespace std;int n,a[5050],b[5050],sum,mi;int lowbit(int x){    return x&-x;}void add(int pos,int ad){    while(pos<=n)    {        b[pos]+=ad;        pos+=lowbit(pos);    }}int Sum(int pos){    int ans = 0;    while(pos>0)    {        ans+=b[pos];        pos-=lowbit(pos);    }    return ans;}int main(){    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        memset(b,0,sizeof b);        sum = 0;        for(int i=0;i<n;i++)        {            scanf("%d",&a[i]);            a[i]++;//我写的是按值来找，因为树状数组不能有0项，而ai中会出现0，所以ai要+1，            add(a[i],1);            sum+=i+1-Sum(a[i]);        }        mi = sum;        for(int i=0;i<n;i++)        {            sum = sum - (a[i] - 1) + (n - a[i]);            mi = min(mi,sum);        }        printf("%d\n",mi);    }    return 0;}

//线段树#include<iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>using namespace std;const int maxn = 5005;int n,mi,a[maxn],b[maxn<<2],sum;void add(int pos,int l,int r,int x){    b[x]++;    int mid = (l+r)>>1;    if(l==r) return;    if(pos>mid) add(pos, mid+1, r, x<<1|1);    else add(pos, l, mid, x<<1);}int Sum(int pos,int l,int r,int x){    int ans = 0,mid = (l+r)>>1;    if(pos==r) return b[x];    if(pos>mid) ans+=b[x<<1]+Sum(pos,mid+1,r,x<<1|1);    else ans+=Sum(pos,l,mid,x<<1);    return ans;}int main(){    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        sum = 0;        memset(b,0,sizeof(b));        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d",&a[i]);            a[i]++;            add(a[i],1,n,1);            sum+=(i-Sum(a[i],1,n,1));        }        mi = sum;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            sum = sum - (a[i]-1) + (n-a[i]);            mi = min(mi,sum);        }        printf("%d\n",mi);    }    return 0;}