拓扑排序的原理&&实现

拓扑排序讲解

1、什么是拓扑排序

拓扑排序是一种图论算法在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一个拓扑排序（英语：Topological sorting）。
（1）每个顶点出现且只出现一次；
（2）若A在序列中排在B的前面，则在图中不存在从B到A的路径。
也可以定义为：拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中B出现在A的后面。
此拓扑排序的思想是：
（1）从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之；
（2）从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧；
重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。没有前驱 – 入度为零，删除顶点及以它为尾的弧– 弧头顶点的入度减1。

2、拓扑排序的作用

不禁有人就问了，有很多排序算法啊，快速排序，插值排序，这个排序到底有什么优点呢？平常这种排序又用于哪种场景呢？
我们说快速排序是不稳定的，这是因为最后的快排结果中相同元素的出现顺序和排序前不一致了。如果用偏序的概念可以这样解释这一现象：相同值的元素之间的关系是无法确定的。因此它们在最终的结果中的出现顺序可以是任意的。而对于诸如插入排序这种稳定性排序，它们对于值相同的元素，还有一个潜在的比较方式，即比较它们的出现顺序，出现靠前的元素大于出现后出现的元素。因此通过这一潜在的比较，将偏序关系转换为了全序关系，从而保证了结果的唯一性。而拓扑排序就是一种将偏序转换为全序的一种算法。
这里要补充两个概念，

偏序和全序？

偏序：有向图中两个顶点之间不存在环路，至于连通与否，是无所谓的。
全序：就是在偏序的基础之上，有向无环图中的任意一对顶点还需要有明确的关系(反映在图中，就是单向连通的关系，注意不能双向连通，那就成环了)。
意思就是讲，一个不确定的偏序关系经全序后就有一种确定的先后顺序了。
既然有先后，那么在实际生活中的选课问题，比如大一时一定要修完这门课，大二才学第二门课，这种排课问题就是拓扑排序问题。
拓扑排序实质上就是一种偏序到全序的排序算法。

3、用C++实现拓扑排序算法
UVA.10305 Ordering Tasks
有n个点，m条边，给n个顶点做拓扑排序。

#include <iostream>#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <sstream>#include <set>#include <map>#include <queue>#include <stack>#include <cmath>#define nmax 200#define MEM(x) memset(x,0,sizeof(x))using namespace std;vector<int> v[nmax];int indegree[nmax];int n;bool suc = true;queue<int> ans;void topsort(){    queue<int> q;    while(1){        for(int i = 1; i<=n ;++i){            if(indegree[i] == 0){                q.push(i);                ans.push(i);                indegree[i] = -1;            }        }        if(q.empty()) break;        while(!q.empty()){            int t = q.front(); q.pop();            for(int j = 0;j<v[t].size();++j){                int tt = v[t][j];                if(indegree[tt] == -1){                    suc = false;                    break;                }else indegree[tt]--;            }            v[t].clear();            if(!suc) break;        }        if(!suc) break;    }    if(ans.size() <n){        suc =false;        return;    }}void output(){    bool isfirst = true;    while(!ans.empty()){        int t = ans.front(); ans.pop();        if(isfirst){            printf("%d",t);            isfirst = false;        }else            printf(" %d",t);    }    printf("\n");}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    int m;    while(scanf("%d%d",&n,&m) ==2 && (n||m)){        MEM(indegree);        suc = true;        int a,b;        for(int i = 0; i<m; ++i){            scanf("%d%d",&a,&b);            indegree[b]++;            v[a].push_back(b);        }        topsort();        if(suc) output();        else printf("failed\n");  **//拓扑排序可以检验一个有向图是否是有向无环图**    }    return 0;}

基本方法是，indegree表示入度表，vector存后继节点。在topsort函数中，制造一个辅助队列，首先从入度表中找到入度为0的点作起点，并且置入度为-1。接着依次处理队列中的节点，首先根据他们的后继，将其后继节点的入度依次减1，若其后继节点中的入度存在-1的，说明成环，则不存在拓扑排序。紧接着再从入度表中找到入度为0的节点，加入到队列中，直到队列空。当退出while循环的时候，需要检查ans答案队列中是否已经有全部的节点，若其数量为n，则表明存在拓补排序，否则不存在。