树的基本知识点（未完）

1、基本概念

（1）递归定义

（2）术语

...这些从略了

2、表示

比较流行的表示法叫做Firstchild-Nextsibling:

struct Tree{DataType Data;TreePtr FirstChild;TreePtr NextSibling;};

3、二叉树

（1）基本性质（其实很多是树的性质）

①除了叶子之外的所有点叫做“内点”，也就是入度为1，出度不为0的点，或者说，也就是有孩子的顶点。假如一棵满m叉树的内点是i，则它一共有mi+1个顶点

②高度为h的m叉树最多有m^h个叶子

注:单个节点的树高在一些书上是1，一些是0，个人觉得。。

③For any nonempty binary tree, n0 = n2 + 1,  where n0 is the number of leaf nodes and n2 the number of nodes of degree 2.

（2）重要的问题

①前序遍历（递归和非递归）

②中序遍历（递归和非递归）

③后序遍历（递归和非递归）

④层次遍历

关于上面4个问题可以参看这个测试程序：

#include<iostream>#include<stack>#include<queue>using namespace std;typedef char DataType;typedef struct BiTreeNode* TreePtr;struct BiTreeNode{DataType dt;TreePtr left;TreePtr right;};/*递归建立二叉树用‘#’表示节点为空例如：a/\bc/\/\d#e#/\/\# ## #输入前序：abd###ce###即可建立起对应的二叉树*/TreePtr create_tree(){TreePtr t;char c;cin>>c;if(c=='#')t=NULL;else{//建立顺序是前序t=new BiTreeNode;t->dt=c;t->left=create_tree();t->right=create_tree();}return t;}/*前序遍历的递归写法：根、左、右*/void preorder(TreePtr t){if(t==NULL)return;cout<<t->dt;preorder(t->left);preorder(t->right);}/*前序遍历非递归*/void preorder2(TreePtr t){stack<TreePtr> s;if(!t){cout<<"empty tree"<<endl;return;}while(t||!s.empty()){while(t){cout<<t->dt;s.push(t);t=t->left;}if(!s.empty()){t=s.top();s.pop();t=t->right;}}}/*中序遍历的递归写法：左、根、右*/void inorder(TreePtr t){if(t==NULL)return;inorder(t->left);cout<<t->dt;inorder(t->right);}/*中序遍历非递归*/void inorder2(TreePtr t){stack<TreePtr> s;if(!t){cout<<"empty tree"<<endl;return;}while(t||!s.empty()){while(t){s.push(t);t=t->left;}t=s.top();s.pop();cout<<t->dt;t=t->right;}}/*后序遍历的递归写法：左、右、根*/void postorder(TreePtr t){if(t==NULL)return;postorder(t->left);postorder(t->right);cout<<t->dt;}/*后序遍历非递归*/void postorder2(TreePtr t){stack<TreePtr> s;if(!t){cout<<"empty tree"<<endl;return;}TreePtr last=t;//记录最近访问的节点s.push(t);while(!s.empty()){t=s.top();if((t->left==NULL&&t->right==NULL)||(t->right==NULL&&last==t->left)||(last==t->right)){//注意这里的第三个条件不需要判断左孩子，因为左孩子肯定先于右孩子被访问cout<<t->dt;last=t;s.pop();}else{if(t->right)s.push(t->right);if(t->left)s.push(t->left);}}}/*层次遍历（使用队列）*/void levelorder(TreePtr t){queue<TreePtr> q;TreePtr helper;if(!t){cout<<"empty tree"<<endl;return;}q.push(t);//enqueuewhile(!q.empty()){helper=q.front();//get the first oneq.pop();cout<<helper->dt;//visit itif(helper->left)q.push(helper->left);if(helper->right)q.push(helper->right);}}int main(){TreePtr t=create_tree();//前序：cout<<"preorder traversal:"<<endl;cout<<"recursive version:"<<endl;preorder(t);cout<<endl;cout<<"iterative version:"<<endl;preorder2(t);cout<<endl<<endl;//中序：cout<<"inorder traversal:"<<endl;cout<<"recursive version:"<<endl;inorder(t);cout<<endl;cout<<"iterative version:"<<endl;inorder2(t);cout<<endl<<endl;//后序：cout<<"postorder traversal:"<<endl;cout<<"recursive version:"<<endl;postorder(t);cout<<endl;cout<<"iterative version:"<<endl;postorder2(t);cout<<endl<<endl;//层序：cout<<"level-order traversal:"<<endl;levelorder(t);cout<<endl;return 0;}

需要注意的是非递归遍历的实现，尤其是后序遍历，如果一个节点没有孩子，直接访问它，如果它的孩子都被访问过，直接访问它，如果它的孩子都没有被访问过，按照右、左的顺序入栈。上面的方法用了一个辅助指针来记录最近访问的节点，判断的时候，如果p没有右孩子，last等于左孩子，则t的孩子都被访问过了，同样地，如果last等于右孩子，t的孩子也都被访问过了，因为访问右孩子之前肯定要访问左孩子。

实现后序非递归还有一种做法：

我们希望按照左、右、根的顺序访问这棵树，因此希望入栈顺序最好每次都是根、右、左。对于每一个节点，如果，必须先访问它的儿子们再访问它，因此每次入栈需要首先判断它的儿子们有没有被访问过，现在把每个节点入栈两次，弹出以后再和栈顶元素比较，如果它们相等，证明这个节点的儿子们都没有被访问过，入栈。按照相似的逻辑，对每个节点都这样操作即可：

/*后序遍历非递归的另一种实现（每个节点入栈两次）*/void postorder2(TreePtr t){stack<TreePtr> s;if(!t){cout<<"empty tree"<<endl;return;}TreePtr helper=t;s.push(helper);s.push(helper);while(!s.empty()){helper=s.top();s.pop();if(!s.empty()&&helper==s.top()){if(helper->right){s.push(helper->right);s.push(helper->right);}if(helper->left){s.push(helper->left);s.push(helper->left);}}elsecout<<helper->dt;}}

⑤如何构造二叉树

经典的问题是在知道哪些条件的情况下可以唯一确定一棵二叉树？答案是中序+前序/后续中的任意一种。

例子可以参看这两篇博文：

http://blog.csdn.net/lishichengyan/article/details/77540761（后序+中序建立二叉树）

http://blog.csdn.net/lishichengyan/article/details/77542053（前序+中序建立二叉树）

⑥如何判断二叉树是否平衡

（简单，LeetCode上有题，这里略）

⑦求二叉树的高（深度）

其实就是树的深度优先搜索，可以看这两个题：

http://blog.csdn.net/lishichengyan/article/details/77542264（最大深度）

http://blog.csdn.net/lishichengyan/article/details/77542612（最小深度）

⑧求二叉树的叶节点数

⑨求二叉树的镜像

⑩判断同构

⑩①求最近公共祖先（LCA）

⑩②求二叉树的所有路径

⑩③把二叉树转化为链表

⑩④求节点间的最长距离

⑩⑤...（慢慢更，不着急=。=）

4、二叉查找树（BST）

（1）基本性质

（2）重要操作

（3）应用

5、更高级的话题

AVL树、红黑树、伸展树、B+树......等以后会慢慢讨论。。。对了，还有堆。。这些也是一个大坑啊orz会慢慢发文章来复习的。。