动态规划之走台阶问题

问题描述 
一个人上台阶，台阶有n级，他可以一次上1级，可以一次上2级，也可以一次上3级，问上这个n级的台阶一共有多少种上法。

总结：这类问题属于典型的动态规划问题（多阶段最优化决策解决问题），首先应当找到问题的子问题：上到n级有几种可能的方式，根据题目可知，要想上到n级台阶最后一次抉择有三种可能的情况：1.距n级台阶一个台阶 2.距n级台阶两个台阶 3.距n级台阶三个台阶。我们假设f（n）为上到n级台阶的方法数量，而我们又可以知道当n=1时，有一种方法即f（1）=1； n=2时，有两种方法即f（2）=2； n=3时，有四种方法即f（3）=4。那么以此为基础就可以得到f（n）=f（n-1）+f（n-2）+f（n-3）递归公式。

问题分析 
首先我们先归纳分析一下一些比较简单的情况： 
如果台阶只有1级，那么他一次就可以上去，很显然，上法只有1种； 
如果台阶有2级，那么他可以1-1，也可以直接上到2级，这时一共有2种上法； 
如果台阶有3级，那么他可以1-1-1，可以1-2，可以2-1，也可以直接上到3，这样一共有4种上法； 
如果台阶为4级，那么他可以1-1-1-1，可以1-1-2，可以1-2-1，可以2-1-1，可以1-3，可以3-1，也可以2-2，一共有7种上法； 

通过简单的分析，我们发现台阶数为4的时候，其上法等于1+2+4，也就是台阶数为1,2,3的上法的总和，依次类推。

一般情况下，我们把n级台阶的跳法写成n的函数f(n)。当n大于等于4时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)，即若要跳到n级台阶等于从n-1级台阶再跳1级，或从n-2级台阶再跳2级，或者从n-3级台阶再跳3级。

            /          1                    n=1          /        /              2                    n=2f(n)=        \              4                    n=3          \            \ f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)  n>=4
1
2
3
4
5
6
7
1
2
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7

有了这个状态转移公式，并且满足动态规划的条件（最优子结构，无后效性等），就能用动态规划来求解。

Java代码实现：

public static void main(String[] args) {        // TODO Auto-generated method stub        Scanner scanner = new Scanner(System.in);        int num = scanner.nextInt();        int[] step = new int[num];        step[0]=1;          step[1]=2;          step[2]=4;         if(num <= 3)        {            System.out.println("需要的步数："+ step[num-1]);        }        for(int i = 3; i < num; i++)        {            step[i]=step[i-1]+step[i-2]+step[i-3];        }        System.out.println("需要的步数："+ step[num-1]);    }