数论

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1.最大公约数gcd（辗转相除法：）

gcd(10,4)=gcd(4,2)=gcd(2,0)=2

int gcd(int a,int b){   if(b==0)  return a;   return gcd(b,a%b);}

2.最小公倍数lcm

lcm(10,4)=10/2*4=20;

int lcm(int a,int b){   return a/gcd(a,b)*b;}

3.埃拉托斯特尼筛法

（在10^7内可以很快的算出）复杂度（0（n））
从2开始 筛选 ，当该数字为质数时，就将后面该质数的倍数删掉，但这种方法会重复删一些数（2–>6, 3–>6）.

const int maxn=(1e7)+5;int Prime[maxn];void Prepare_Prime(){  static bool isPrime[maxn];  memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));  Prime[0]=0;//记录有多少个质数  for(int i=2;i<maxn; i++)    if（isPrime[i])    {      Prime[++prime[0]]=i;//储存质数      for(int j=i+i; j<maxn; j+=i)  isPrime[j]=false;//删除该质数的倍数    }  printf("%d\n",Prime[0]);}

4.欧拉筛选法 复杂度o(log n)

从2开始筛选 ，将筛选出的质数存入数组中， 将是质数倍数的数删除，当与质数相乘的数是指数的倍数，停止删除。
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

质数：2 3

  2 4   3 6 9  4 8  5 10

const int maxn=1e7+100;int fp[maxn],pr[maxn],phi[maxn]  //fp[i]表示i的最小质因子，pr[0]表示质数的个数，pr[i]是质数数组，phi[i]是i的欧拉函数void ola_prime(int n){  memset(fp,0,sizeof(fp));  pr[0]=0;  for(int i=2; i<=n; i++)  {    if(!fp[i])      {         pr[++pr[0]]=i;fp[i]=i;phi[i]=i-1;       }     for(int j=1; j<=pr[0]; j++)     {         int k=i*pr[j];         if(k>n) break;         fp[k]=pr[j];         if(k%pr[j]==0)         {            phi[k]=phi[i]*pr[j];            break;          }          else  phi[k]=phi[i]*(pr[j]-1);      }   }}

5.质因数分解

一个正数n,最多只有一个大于根号n的质因数，因此，枚举根号n以内的质数分解质因数。当最后的数不为1时，说明还有一个质数为n.

struct P_factor{    int p, k;    P_factor() {p=k=0};    p_factor(int a,int b)    {        p=a;k=b;    }};vector<P_factor> divide_factor(int x){    vector<P_factor> R;    R.clear();    for(int i=1; i<=Prime[0]; i++)//Prime[]为2-->sqrt(x)的质数数组    {        int p=Prime[i];        if(p*p>x)  break;        if(x%p==0)        {            int k=0;            while(x%p==0)  k++,x/=p;            R.push_back(P_factor(p,k));        }    }    if(x>1)  R.push_back(P_factor(x,1));    return 0;}

质因数分解形式下的gcd和lcm
a = p1^k1 * p2^k2 … pm^km (ki>0)
b = p1^r1 * p2^r2 … pm^rm (ri>0)
gcd(a,b) = p1^min(k1,r1) * p2^min(k2,r2）… pm^min(km,rm)
lcm(a,b) = p1^max(k1,r1) * p2^max(k2,r2）… pm^max(km,rm)
例如：
100 = 2^2 * 5^2
40 =2^2 * 2^1 * 5^1
gcd(100,40) = 2^2 * 2^0 * 5^1=20
lcm(100,40) = 2^2 * 2^1 * 5^2 =200