最长递增子序列

题目描述 牛客网题目

对于一个数字序列，请设计一个复杂度为O(nlogn)的算法，返回该序列的最长上升子序列的长度，这里的子序列定义为这样一个序列U1，U2...，其中Ui < Ui+1，且A[Ui] < A[Ui+1]。

给定一个数字序列A及序列的长度n，请返回最长上升子序列的长度。

测试样例：

[2,1,4,3,1,5,6],7

返回：4

最长递增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS

方法一：

首先想到的而是动态规划，时间复杂度为O(n^2)

dp[i]表示以数组中第i个元素为结尾时，递增子序列的长度。

• arr[j] < arr[i] ，确保是递增序列；
• dp[i] < dp[j]+1，表示数组的序列号  0...j...i...n，如果当前前j个数的递增子序列个数 +1，比当前前i个数的递增子序列个数多，则更新当前前i个数的递增子序列个数。动态规划思想
• maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]);  更新记录当前最大子序列个数，

public class AscentSequence {    public int findLongest(int[] arr, int n) {        int[] dp = new int[n];        dp[0] = 1;        int maxLen = 1;        for (int i = 1; i < n; i++) {            dp[i] = 1;//每次循环，当前前i个数的递增子序列个数初始值为1            for (int j = 0; j < i; j++) {                if (arr[j] < arr[i] && dp[i] < dp[j]+1) {                    dp[i] = dp[j]+1;                    maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]);                }            }        }        return maxLen;    }

方法二：

改进算法，时间复杂度为O(nlogn).

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。

注意!!!!! 

这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

package test;import java.util.Scanner;/** * @author xiaohao * @date 创建时间：Aug 15, 2017 5:05:00 PM * @version 1.0   */public class LongestAscentSequence {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner sc = new Scanner(System.in);int n= sc.nextInt();int arr[]= new int[n];for(int i=0;i<n;i++)arr[i]=sc.nextInt();System.out.println(findLongest(arr,n));}public static int findLongest(int[] arr, int n) {// TODO Auto-generated method stubint end[]=new int[n+1];int len=1;end[1]=arr[0];int pos=0;for(int i=1;i<n;i++){pos=findInsertPos(end,1,len,arr[i]);//找到插入位置end[pos]=arr[i];//按需要更新LIS长度if(len<pos)len=pos;}return len;}//在递增序列 arr[start...end]（闭区间）上二分查找第一个大于等于key的位置，如果都小于key，就返回end+1public static int findInsertPos(int[] arr, int start, int end, int key) {// TODO Auto-generated method stubif(arr[end]<key)return end+1;while(start<end){int mid=start+(end-start)/2;if(arr[mid]<key)start=mid+1;elseend=mid;}return start;}}

参考https://www.felix021.com/blog/read.php?1587