基础博弈【理解】

这里的博弈，即两个人轮流进行决策的非合作博弈，并且两人都使用最优策略来获取胜利，遵循相同的规则且均不会出现失误， 博弈的次数是有限的。

1.巴什博弈（Bash Game）

只有一堆n块石子，两个人轮流取石子，规定每次最少取1个，最多取m个，最终先取完者获胜。通常来想，如果n=m+1，那么无论先取者拿走多少个，后取者都能一次拿走剩余的物品，后取者胜利。

（1）. 如果n = (m+1) * r，（r为任意正整数），先取者拿走k块石子，无论k为多少，后取者只要取（m+1-k）,则后取者必胜。

（2）. 如果n = (m+1) * r + s，（r为任意正整数，s<=m）, 先取者拿走s块石子【给对手留下了（m+1）的倍数，相当于交换了先后顺序】后取者拿走k块，先取者拿走（m+1-k）块，那么剩下 (m+1)*(r-1) 块，故和（1）类似，则先取者必胜。

伪代码：if(n%(m+1)！=0) 先取者必胜； else 后取者必胜；

2.威佐夫博奕（Wythoff Game）

有两堆石子，两人轮流从其中一堆至少取一块石子，最多不限，或从两堆中同时取相同件物品，规定先取完者获胜。

可以用两个数（a[k],b[k]）（a[k]≤b[k]）表示两堆石子的数量。 如果说先手遇到了（0,0）这样的局势，那么先手就输了，被称为奇异局势。

前几个奇异局势如下：（0,0）、（1,2）、（3,5）、（4,7）、（6,10）、（8,13）···
首先要明确先手不能把任意一堆取完，如果取完了很明显后手会取完另外一堆那么先手必输。

eg1.遇到(1,2)，先手必输。

4种取法：
1）取 1 中的一个，那么后手取第二堆中两个。
2）取 2 中一个，那么后手在两堆中各取一个。
3）在 2 中取两个，那么后手在第一堆中取一个。
4）两堆中各取一个，那么后手在第二堆中取一个。
遇到（3,5），先手必输。

eg2.遇到(3,5)，先手必输。
考虑先看在一堆中取，取1个，后手在第2堆取4个，就变成（1,2）了；取2个，后手取3。考虑在第二堆里取，同理...

规律：他们的差值是0,1,2,3..，n递增的；还发现局面中第一个值为前面局面中没有出现过的第一个值；发现第一个值 = 差值 * 1.618 ；而1.618 = （sqrt（5）+ 1） /  2 。
0.618是黄金分割率。而威佐夫博弈正好是1.618！

3.尼姆博弈（Nimm Game） 可以引申为多堆物品，
有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

(a,b,c)表示某种局势，(0,0,0)显然是必败态；第二种必败态是(0,n,n)，先手在某一堆拿走k（k ≤ n）个物品，对方只要在另一堆拿走k个物品，都将面临(0,0,0)的局势。(1,2,3)也是必败态，无论自己如何拿，接下来对手都可以把局势变为(0,n,n)。

【异或也叫半加运算，其运算法则不带进位的二进制加法：二进制下用1表示真，0表示假，则异或的运算法则为：0⊕0=0，1⊕0=1，0⊕1=1，1⊕1=0（同为0，异为1），这些法则与加法是相同的，只是不带进位。异或简称为XOR、EOR、EX-OR。】

看(1,2,3)的按位模2加的结果：
1 = 二进制01
2 = 二进制10
3 = 二进制11  XOR
——————————
0 = 二进制00 (注意不进位)
对于奇异局势(0,n,n)，异或结果也是0。

任何奇异局势(a,b,c)都有a^b^c = 0。

面对非必败态(a,b,c)，如何变为必败态呢？
假设 a < b < c，我们只要将 c 变为a^b，即可。因为：a^b ^(a^b)=(a^a) XOR (b^b)=0^0 =0
所以说：要将c 变为a XOR b，只要对在c中取走 c-(a^b)这么多即可。

4.Fibonacci博弈

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，规定：
1)先手不能在第一次把所有的石子取完；
2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。
约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

当n为斐波那契数的时候，必败。
f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 


证明：根据“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

如n=83 = 55+21+5+2     ：假如先手取2颗，那么后手无法取5颗或更多，而5是一个Fibonacci数，那么一定是先手取走这5颗石子中的最后一颗，同理，接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗，再取走后55颗中的最后一颗，那么先手赢。

反证：如果n是Fibonacci数，如n=89：记先手一开始所取的石子数为y
 （1）若y>=34颗（也就是89的向前两项），那么一定后手赢，因为89-34=55=34+21<2*34。
 （2）y<34时剩下的石子数x介于55到89之间，它一定不是一个Fibonacci数，把x分解成Fibonacci数：x=55+f[i]+…+f[j]，若，如果f[j]<=2y，那么对B就是面临x局面的先手，所以根据之前的分析，后手只要先取f[j]个即可，以后再按之前的分析就可保证必胜。

也可参考这个博客：http://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/7602807

ps.  关于P（previous）N（next）

必败点(P点) :前一个选手(Previous)将取胜的位置称为必败点。
必胜点(N点) :下一个选手(Next)将取胜的位置称为必胜点。

1.无法进行任何移动的局面是P-position。
2.可以移动到P-position的局面是N-position；
即如果当前的局面你如果可以胜利，那么必然意味着你能创造一个必输的局面给对方
3.所有移动都导致N-position的局面是P-position。
即如果你是必输的局面，那么意味着不管比赛有没有分出最后的结果，你的所有移动得到的结果都是对方胜利的局面，或者说都是对方又可以把你置为必输的局面的位置