DH密钥交换和ECDH原理

1、有两个全局公开的参数，一个素数q和一个整数a，a是q的一个原根。

2、假设用户A和B希望交换一个密钥，用户A选择一个作为私有密钥的随机数XA<q，并计算公开密钥YA=a^XA mod q。A对XA的值保密存放而使YA能被B公开获得。类似地，用户B选择一个私有的随机数XB<q，并计算公开密钥YB=a^XB mod q。B对XB的值保密存放而使YB能被A公开获得。

3、用户A产生共享秘密密钥的计算方式是K = (YB)^XA mod q。同样，用户B产生共享秘密密钥的计算是K = (YA)^XB mod q。这两个计算产生相同的结果：

    K = (Y_B)^XA modq

                = (a^XB modq)^XA mod q

                = (a^XB)^XA modq                  （根据取模运算规则得到）

                = a^XBXA modq

                = (a^XA)^XB modq

                = (a^XA modq)^XB mod q

                = (Y_A)^XB modq

所以 (Y_B)^XA modq = K =(Y_A)^XB modq

因此相当于双方已经交换了一个相同的秘密密钥。

我们进行一个实例

1.爱丽丝与鲍伯协定使用p=23以及g=5.

2.爱丽丝选择一个秘密整数a=6, 计算A = g^a mod p并发送给鲍伯。  
   A = 5^6 mod 23 = 8. 

3.鲍伯选择一个秘密整数b=15, 计算B = g^b mod p并发送给爱丽丝。  
   B = 5^15 mod 23 = 19. 

4.爱丽丝计算s = B a mod p  
  19^6 mod 23 = 2. 

5.鲍伯计算s = A b mod p  
   8^15 mod 23 = 2. 

  

ECDH密钥交换：

ECDH:

       ECC算法和DH结合使用，用于密钥磋商，这个密钥交换算法称为ECDH。交换双方可以在不共享任何秘密的情况下协商出一个密钥。ECC是建立在基于椭圆曲线的离散对数问题上的密码体制，给定椭圆曲线上的一个点P，一个整数k，求解Q=kP很容易；给定一个点P、Q，知道Q=kP，求整数k确是一个难题。ECDH即建立在此数学难题之上。密钥磋商过程：

假设密钥交换双方为Alice、Bob，其有共享曲线参数（椭圆曲线E、阶N、基点G）。

1) Alice生成随机整数a，计算A=a*G。 #生成Alice公钥

2) Bob生成随机整数b，计算B=b*G。 #生产Bob公钥

3) Alice将A传递给Bob。A的传递可以公开，即攻击者可以获取A。

    由于椭圆曲线的离散对数问题是难题，所以攻击者不可以通过A、G计算出a。

4) Bob将B传递给Alice。同理，B的传递可以公开。

5) Bob收到Alice传递的A，计算Q =b*A  #Bob通过自己的私钥和Alice的公钥得到对称密钥Q

6) Alice收到Bob传递的B，计算Q`=a*B  #Alice通过自己的私钥和Bob的公钥得到对称密钥Q'

Alice、Bob双方即得Q=b*A=b*(a*G)=(b*a)*G=(a*b)*G=a*(b*G)=a*B=Q' (交换律和结合律)，即双方得到一致的密钥Q。

        目前Openssl里面的ECC算法的套件支持是ECDSA/ECDH。在国密的SSL套件中，可以使用ECDSA/ECC(密钥加密传输)，ECDSA/ECDH(密钥磋商)两种套件