矩阵空间理解

最近学习了矩阵的空间，以及各个空间的关系，为了以后查阅方便，便做个笔记，有错误的地方请大家指正一下。

数学符号

符号 意义 Rn n维实空间 Rm×n mxn的实矩阵集合 T 转置 det(A) 行列式 C(A) 列空间 N(A) 零空间 A−1 逆 diag(a) 将向量转化为对角矩阵 Tr 迹 rank 秩

重新看待矩阵和Ax=b

[21−11]A∈R2×2[xy]x∈R2=[15]b∈R2(1)

Ax=b的行视图

行视图：凸优化中的超平面

2x−y=1x+y=5(2)

可以将(2)理解为两个直线相交与一点

2u+v+w=54v−6v=−2−2u+7v+2w=5(3)

可以将(3)理解为三个平面相交与一点：

Ax=b的列视图

列视图：矩阵列的线性组合。
(2)可以理解为以下形式：

x[21]+y[−11]=[15](4)

(3)可以理解为以下形式：

u⎡⎣⎢24−2⎤⎦⎥+v⎡⎣⎢1−67⎤⎦⎥+w⎡⎣⎢102⎤⎦⎥=⎡⎣⎢5−29⎤⎦⎥(5)

(4)与(5)可以理解为向量相加得到向量，我们将（4）用图(3),(5)用图(4)示意：
图(3)如下：

图(4)如下：

线性相关与线性无关

线性相关：矢量集[a1,a2,⋯,an]是线性相关的，如果∑nk=1ckak=0，当且仅当c1,c2,⋯,cn≠0。即，至少有一个向量，al可以由其他向量线性表出：

al=−1cl∑k=1,k≠lnckak(5)

线性无关：矢量集[a1,a2,⋯,an]是线性无关的（即不是线性相关的），如果∑nk=1ckak=0，当且仅当c1,c2,⋯,cn=0。

思考：对于线性相关的理解可以参考图(3)理解；将[21] 设置为a1，x 设置为c1，[−11] 设置为a2，y 设置为c2,[15] 设置为a3；那么(4)可以改写为c1a1+c2a2=a3；通过图(3)可以展示他们的关系，知道[a_1,a_2,a_3]是线性相关的。图4也可以这样理解。

性质：定义A=[a1,a2,⋯,an]，则Ax=0只有x=0，没有其他线性组合能产生0（即A线性无关的），此时矩阵A是可逆的。

Span、基和子空间(Subspace)

Span：生成子空间

span=[a1,a2,⋯,an]={y∈Rm|y=∑n=1nckak}=S

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• A=[a1,a2,⋯,an]的所有线性组合。此时，如果[a1,a2,⋯,an]是线性无关的，则他们是S的一组基。正交基满足条件是aTiaj=0；也可以理解为向量ai与向量aj夹角是90度。

• S可以有不同的一组基，但是基向量的的个数是相同的，被称为S的维数，等于rank(A)。一个子空间用一组基就可以表示了。

• 例子：
  

  A=⎡⎣⎢100230330⎤⎦⎥，则S=span⎡⎣⎢⎡⎣⎢100⎤⎦⎥,⎡⎣⎢230⎤⎦⎥⎤⎦⎥ 是R3的子空间，同时S还具有其他基。

四个基本的子空间

（1）列空间：C(A)是Rm (not Rn) 的子空间。

• 定义：包含所有列的线性组合，即C(A)={y=Ax,x∈Rn}
  

A=⎡⎣⎢142033⎤⎦⎥，C(A)=span⎡⎣⎢⎡⎣⎢142⎤⎦⎥,⎡⎣⎢033⎤⎦⎥⎤⎦⎥，构成一个R3的子空间。

如图5

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（2） 零空间：N(A)是Rn (not Rm) 的子空间。

• 定义：N(A)包含Ax=0的所有解的集合。
• 注意：Ax=b的解并不形成一个子空间。
• 例子：求A的零空间的基
  

A=[132826416]→U=[10222044] 经过初等变化
即Ux=0，于是有s1=⎡⎣⎢⎢⎢0−201⎤⎦⎥⎥⎥，s2=⎡⎣⎢⎢⎢−2010⎤⎦⎥⎥⎥；
因此N(A)=C⎛⎝⎜⎜⎜⎡⎣⎢⎢⎢0−201⎤⎦⎥⎥⎥,⎡⎣⎢⎢⎢−2010⎤⎦⎥⎥⎥⎞⎠⎟⎟⎟，是R4 的子空间。

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（2） 行空间：N(A)是Rn (not Rm) 的子空间。

待续。。。