2017 Multi-University Training Contest
来源:互联网 发布:js 命名空间 编辑:程序博客网 时间:2024/06/15 10:55
神奇的数据。开机20分钟挂机4小时。
Build a tree
题意:
给一个完全k叉树,rootn个节点点,问整个树,每个节点的子节点数+1 异或出来的值是多少。思路:
其实不难发现,当有n层时,子树里会有n-1层的满k叉树x棵,n-2层的满k叉树y棵,n-1层的完全k叉树z棵这三种情况。
如果k % 2 == 0,那么对于一个满k叉树,他所异或的值为整棵树的节点数
如果k % 2 == 1,那么多于一个满k叉树,他所异或的值为从1到n层(1 - k ^ i) / (1 - k)的异或值
这个可以打个表。
当x % 2 == 1, y % 2 == 1的时候可以取值,因为如果棵数成偶数的话就异或为0了。我们可以打表算出,当层数为n时拥有的结点数。
那么我们可以通过剩下的rootn个结点,算出x,y,z。
然后递归直到为0或为1即可。
这里要注意(1 - k ^ i) / (1 - k)这个不能直接算,k ^ i可能会先爆long long。累加即可。当k = 1时,树为链,求1-n的异或值,找规律发现4个出现一次0。那么每次最多只需要算4次即可。
/*满足n > (1 - k ^ a) / (1 - k)有a + 1层,这层的总节点数为(1 - k ^ (a + 1)) / (1 - k) = n1个节点 上一层总节点数为(1 - k ^ a) / (1 - k) = n2 个节点 一棵满k叉子树需要(1 - k ^ a) / (1 - k) = n3个节点一棵少一层的k叉子树需要(1 - k ^ (a - 1)) / (1 - k) = n4个节点那么剩下的节点数为z = n - x * n3 - y * n4那么可以算出y有(n1 - n) / k ^ a个 x有(n - n2) / k ^ a个可得剩下的节点数有前缀和1 异或 (1 - k ^ 2) / (1 - k) 异或 ...可知花费为 ^rootnx % 2 == 1时 贡献 ^sum(a)y % 2 == 1时 贡献 ^sum(a - 1)继续递归可得 这里n1可能已经爆long long了,所以可以通过其他方式计算到x,y*/#include <bits/stdc++.h>#define ll long long#define MAXN 200using namespace std;const ll MOD = 1e9;ll f[MAXN], sum[MAXN];ll mi[MAXN];ll ans, k;void dfs(ll rootn) { ans ^= rootn; if (rootn == 0 || rootn == 1) { return ; } ll a = 1; for (ll i = 1; i < MAXN; i++) { if (f[i] >= rootn || f[i] <= 0 || mi[i] <= 0) { break; } a = i; } ll n2 = f[a]; ll n3 = n2; ll n4 = f[a - 1]; ll y; ll x = (rootn - n2) / mi[a - 1]; if ((n2 - x * mi[a - 1]) % mi[a - 1] == 0) { y = k - x; } else { y = k - x - 1; y = y < 0 ? 0 : y; } if (x % 2) { ans ^= sum[a]; } if (y % 2) { ans ^= sum[a - 1]; } ll z = rootn - x * n3 - y * n4 - 1; dfs(z);} void init() { f[0] = sum[0] = 0; mi[0] = 1; for (ll i = 1; i < MAXN; i++) { mi[i] = mi[i - 1] * k; f[i] = mi[i - 1] + f[i - 1]; if (k & 1) { sum[i] = sum[i - 1] ^ f[i]; } else { sum[i] = f[i]; } }}int main() { int T; ll n; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%lld %lld", &n, &k); ans = 0; if (k == 1) { while (n && (n + 1) % 4) { ans ^= n; n--; } } else { init(); dfs(n); } printf("%lld\n", ans); }} /*1001000000000000000000 1000000000*/
Euler theorem
签到题。
题意:有a % b,现在告诉你a,问a % b的值有多少种情况出现。
思路:不难发现,大于0,小于(a + 1) / 2的数都可以被取得,再加上本身可以%=0
#include <bits/stdc++.h>#define ll long longusing namespace std;int main() { int T; ll n; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%lld", &n); printf("%lld\n" , (n + 1) / 2 + 1); }}
Free from square
题意:
从1到n当中,每次选取不超过k次,问能取到没有平方因子的情况有多少种。思路:
没有平方因子很容易能想到素数,也就是500以内的素数随机组合选取,但是又要不超过k次。那就有点难度了。。
500的平方根以内的素数一共有8个,我们只要保证这八个不重复即可(因为其他的只要重复了就超过了500了)。
先将1到n以内的数按照刨去这八个素数后所得的数分组。
每组里面有着对于这八个数的不同状态,状压一下。
将所有情况都分组后,就是分组背包问题了。
dp的时候要每次枚举不同的状态和当前可以选择的数目,从上一次的情况获取到。
然后滚动数组维护一下即可。
#include <bits/stdc++.h>#define MAXN 505#define ll long long#define MOD 1000000007using namespace std;int p[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};vector<int> v[MAXN];int b[MAXN], bel[MAXN];int n, k;bool mark[MAXN][1 << 9];ll dp[2][MAXN][1 << 9];void add(int x, int y) { v[x].push_back(y);}void init() { for (int i = 0; i < MAXN; i++) { v[i].clear(); b[i] = 0; bel[i] = i; } memset(dp, 0, sizeof(dp)); memset(mark, false, sizeof(mark));}void div() { for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 0; j < 8; j++) { if (b[i] != -1 && i % p[j] == 0 && i % (p[j] * p[j]) != 0) { b[i] |= (1 << j); bel[i] /= p[j]; } else if (i % p[j] == 0 && i % (p[j] * p[j]) == 0) { b[i] = -1; break; } } } for (int i = 1; i <= n; i++) { if (b[i] != -1) { if (bel[i] == 1) { add(i, b[i]); } else { add(bel[i], b[i]); } } } for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 0; j < v[i].size(); j++) { mark[i][v[i][j]] = true; } }}void work() { for (int i = 1; i <= n; i++) { if (v[i].size() == 0) { continue; } for (int j = 0; j < (1 << 8); j++) { if (!mark[i][j]) { continue; } dp[i & 1][1][j] = (dp[(i & 1) ^ 1][1][j] + 1) % MOD; for (int l = 1; l <= k; l++) { for (int q = 0; q < (1 << 8); q++) { if (!(j & q)) { dp[i & 1][l][j | q] = (dp[(i & 1) ^ 1][l - 1][q] + dp[i & 1][l][j | q]) % MOD; } } } } for (int j = 1; j <= k; j++) { for (int l = 0; l < (1 << 8); l++) { dp[(i & 1) ^ 1][j][l] = dp[i & 1][j][l]; } } }}ll cal() { ll ans = 0; for (int i = 1; i <= k; i++) { for (int j = 0; j < (1 << 8); j++) { ans += dp[k & 1][i][j]; ans %= MOD; } } return ans;}int main() { int T; scanf("%d", &T); while (T--) { init(); scanf("%d %d", &n, &k); div(); work(); printf("%lld\n", cal()); }}
Hard challenge
题意:
给n个坐标点每个点的价值为val,两两点构成的线段的价值为val1 * val2,现在求一条经过(0,0)点的直线可以使它交到的线段价值最大。思路:
把所有点都打成以角度排序,以某点转180°的点,都可以对该点造成价值。
用尺取法一段一段180°取就好了。
用x,y算它角度的 atan2(y, x) / PI * 180
#include <bits/stdc++.h>#define ll long long#define MAXN 100005using namespace std;const double PI = acos(-1.0);struct point { ll x, y, val; double ang; point(ll _x, ll _y, ll _val) : x(_x), y(_y), val(_val) { ang = atan2(y, x) / PI * 180; if (ang < 0) { ang += 360; } } point() {}} reg[MAXN];int cmp(point a, point b) { return a.ang < b.ang;}int main() { ll T, x, y, val, n; scanf("%lld", &T); while (T--) { scanf("%lld", &n); for (int i = 0; i < n; i++) { scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &val); reg[i] = point(x, y, val); reg[i + n] = point(x, y, val); reg[i + n].ang += 360; } n *= 2; sort(reg, reg + n, cmp); ll l, r; l = 0, r = 0; ll lval = 0, rval = 0; while (r + 1 < n && reg[0].ang + 180 > reg[r + 1].ang) { rval += reg[++r].val; } ll ans = 0; if (r == 0) { rval += reg[++r].val; } for (ll i = 1; i < n; i++) { rval -= reg[i].val; lval += reg[i - 1].val; while (l < i && reg[i].ang - 180 >= reg[l].ang) { lval -= reg[l++].val; } while (r + 1 < n && reg[i].ang + 180 > reg[r + 1].ang) { rval += reg[++r].val; } ans = max(ans, (lval + reg[i].val) * rval); if (i == r && i + 1 < n) { rval += reg[++r].val; } } printf("%lld\n", ans); }}/*331 1 11 -1 10-1 0 100*/
Just do it
题目:
给一个序列a,有一种操作,对于每一个下标i的数,他是[1,i]之间的ai异或得到的
现在进行m次操作,问最终序列的样子。思路:
其实可以发现有dp[i][j]表示下标为i,已经操作了j次。
有dp[i][j]=dp[i−1][j]xordp[i][j−1]
再转化一下。有dp[i][j]=dp[i−2k]xordp[i][j−2k]
那可以发现,其实对于一个下标为i的,我们只需要做他j二进制化后,为1的位置(跟快速幂差不多)。
然后dp一下就好了。
#include<bits/stdc++.h>#define MAXN 200005#define ll long longusing namespace std;ll a[MAXN];int main(){ ll T, n, m; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%lld %lld", &n, &m); for (ll i = 0; i < n; i++) { scanf("%lld", &a[i]); } for (ll k = 0; 1 << k <= m; k++) { if (m >> k & 1) { for (ll i = 1 << k; i < n; i++) { a[i] ^= a[i - (1 << k)]; } } } for (ll i = 0; i < n; i++) { if (i) { printf(" "); } printf("%lld", a[i]); } puts(""); }}
Kolakosk
题意:一个Kolakoski序列。。。。。。问你第n位是多少
什么是Kolakoski序列呢。百度去吧。。好难描述思路:按照Kolakoski的描述打表即可。。
数据水到比赛的时候判奇偶都可以过。。
#include <bits/stdc++.h>#define ll long long#define MAXN 10000005using namespace std;int k[MAXN];void init() { k[1] = 1; k[2] = 2; int cnt = 2; for (int i = 1; i < MAXN; i += k[cnt++]) { for (int j = 0; j < k[cnt]; j++) { k[i + j + 1] = k[i] ^ 3; } } }int main() { int T, n; init(); scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%d", &n); printf("%d\n", k[n]); } }
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