中国剩余定理

唉，发现自己以前偷的懒还是要补回来的

首先说说中国剩余定理是干什么的，最表面的一个作用：

就是求解一元线性同余方程组，用数学语言表达就是

x≡b[1] (mod m[1])

x≡b[2] (mod m[2])

……

x≡b[n] (mod m[n])

告诉你所有的m和b，让你求x

这个东西的通解还是很好记的

只要m都两两互质，那么x就有整数解

x=sigma(b[i]*M[i]*inv(M[i]))+k*M

其中M=m[1]*m[2]*……*m[n]

M[i]=M/m[i]，inv(M[i])表示M[i]关于m[i]的逆元

下面是证明，不感兴趣的直接跳了吧，其实也并不难

证明：（此处M,M[i]和inv的定义均同上）

显然，由给出的方程可得：b[i]*inv(M[i])*M[i]≡b[i] (mod m[i])

且对于任意的i!=j&&j<=n，有b[i]*inv(M[i])*M[i]≡0 (mod m[j])

而x=sigma(b[i]*M[i]*inv(M[i]))对于任意一个m[i],均可满足上式

所以x就是这个方程的一个解，若是要得到更多的解，

加上k*M就可以了，你会发现，这并不会影响x的合法性

然后是代码：

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){    if(!b) x=1,y=0,d=a;    else    {        exgcd(b,a%b,d,y,x);        y-=x*(a/b);    }}int CRT(int *a,int *m,int n){    int ans=0,M=1;    for(int i=1;i<=n;i++) M*=m[i];    for(int i=1;i<=n;i++)    {        int x,y,d,Mi=M/m[i];        exgcd(Mi,m[i],d,x,y);        ans=(ans+Mi*x*a[i])%M;    }    if(ans<0) ans+=M;    return ans;}