【OI之路】02数论算法-3排列与组合

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2.3.1排列（在乎顺序）

全排列：n个人全部来排队，队长为n。第一个位置可以选n个，第二位置可以选n-1个，以此类推得：P(n,n)=n(n-1)(n-2)……3*2*1=n!(规定0!=1).
部分排列：n个人选m个来排队(m<=n)。第一个位置可以选n个，第二位置可以选n-1个，以此类推，第m个（最后一个）可以选(n-m+1)个，得：

2.3.2组合（不在乎顺序）

n个人m(m<=n)个出来，不排队，不在乎顺序C(n,m)。如果在乎排列那么就是P(n,m)，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的m个人，他们还要”全排”得到P(n,m)，所以得：

组合数的性质1:C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1）
组合数的性质2:n&k==k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数

2.3.3其他排列与组合

(1)圆排列

n个人全部来围成一圈为Q(n,n)，其中已经排好的一圈，从不同位置断开，又变成不同的队列。所以：Q(n,n)*n=P(n,n)>>Q(n)=P(n,n)/n=(n-1)！

由此可知，部分圆排Q(n,r)＝P(n,r)/r=n!/(r*(n-r)!)

(2)重复排列(有限)

k种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2,…ak,
设n=a1+a2+…+ak，这n个球的全排列数，为
n!/(a1!*a2!*...*ak!)

(3)重复组合(无限)

n种不一样的球，每种球的个数是无限的,从中选k个出来，
不用排列，是组合，为C(n+k-1,k)
证明：假设选出来的数（排好序）1<=b1<=b2<=b3……<=bk<=n
这题的难点就是=号，现在去掉=号，所以有：
1<=b1<b2+1<b3+2<b4+3……<bk+k-1<=n+k-1
中间还是k个数！不过已经不是b系列，而是c系列假设c[i]:=b[i]+i-1，所以1<=c1<c2<c3<c4……<ck<=n+k-1所以问题就开始转换为无重复组合问题，即在n+k-1个元素中选中k个的组合数C(n+k-1,k)。

(4)不相邻排列

1~n这n个自然数中选k个，这k个数中任何两个数不相邻数的组合有C(n-k+1,k)证明和(3)相同。

(5)错位排列（简称:错排）

先做一个小问题：5本书，编号分别是1，2，3，4，5，现在要把这5本书是放在编号1，2，3，4，5的书架上，要求书的编号和书架的编号不一样，请问有多少种不一样的放置方法？
例：胸口贴着编号为1,2,….n的n个球员分别住在编号为1,2,….n的n个房间里面。
现规定每个人住一个房间，自己的编号不能和房间的编号一样。
这就是错排问题。当n=3时，只能为312或231这两种。
题解：递推。刚开始所有球员都住在和自己编号一样的房间里面。然后错排开始了，第n个球员从第出来。
第一种情况：n想和i(1<=i<=(n-1))其中任何一个球员换房间，其他 n-2个人换房间的事情，他们就不管了。其他n-2个球员的的错排数为d[n-2]，n可以和前面1~(n-1)对换，所以有(n-1)个d[n-2]。
第二种情况：n想和i(1<=i<=(n-1))其中任何一个球员换房间，但是n只想i住在第N个房间，而n不想住第I个房间。
可能你会这样想：那么n可以让i住在第I号房间里面，然后n住在房间J。抱歉，j(1<=j<=(n-1),j!=i)生气n为什么一开始就去找i不直接来找j，~~(╯﹏╰) ~~
没办法，n把自己胸口的编码N换成了I，他假装自己是i，然后错排1~n-1(也就是d[n-2])的时候参与进去，这样自己就不会呆在第i号房间了。
所以有(n-1)个d[n-1]。
如果理解了上面两个加蓝色的地方，那么错排的公式就出来了

同时也有
错位排列数列为0,1,2,9,44,265……

(6)Catalan数列

1：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票， 剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？
2：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
3：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
4：对角线不相交的情况下，将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
5：一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
6：n个结点可够造多少个不同的二叉树?
7：n个不同的数依次进栈，求不同的出栈结果的种数？
其对应的序列为1,1,2,5,14,42,132,....===Catalan数列。
该递推关系的解为