树链剖分

前言：

树链剖分，就是将树剖成一条条链，然后通过数据结构（如Treap，线段树，树状数组，Splay，LCT或者各种树套树）维护这些链，从而快速完成路径的权的统一修改，增加，求极值等。

其实，以前关于树剖的博客，我已经写过了。。。但由于写得太难看，最后删掉了。。。现在把它补上。

初一参加的GDOI和GDKOI，听了不止两遍的树链剖分（好像都是关于第4题的），可每次都听不懂。那时我的心情是这样的：

这就是树链剖分了。。。

好吧，不说废话了。直接进入主题：

先定义Size值为以该节点为树根的子树的节点个数。

重儿子：是该节点所有儿子中Size值最大的儿子。而与重儿子相连的边就叫重边，其余的就叫轻边了。

如上图，用重边组成一条条重路径。

可以知道，从根节点到某一节点u，经过的轻边和重路径不会超过条。

理由：先证明树链剖分一个重要的性质：

如果有任何一个节点u和其轻儿子v，都有

证明：

反证法：假设；

则对于u的重儿子v1，有：

左边两式相加：

可得：

与Size的定义矛盾，假设不成立，故原结论成立。

有了这个定理，问题不难解决：

如果从根节点走到u，最多经过条轻边，因为每经过一次轻边，Size值至少没了一半。

好了，接下来的问题来了，该如何用数据结构（后以线段树为例）来维护重路径的操作？每一条重路径都建一个线段树？显然不是。我们可以将每一个点（或者边）都给其重新编号，使相邻的重边的编号相邻。那么，只需dfs即可，先dfs重儿子，再dfs轻儿子，然后给上编号。为了确定重儿子，在这之前还要搞一次dfs以确定重儿子。

那么，该如何实现路径的这些操作？使两个点一边靠近它们的LCA，一边进行操作。

1，如果两个点还不在同一条重路径上，对深度较深的点进行操作。

可以从该节点x到重路径的顶端top[x]用线段树进行修改（或查询），并暴力修改（查询）top[x]和fa[top[x]]的这条轻边。x跳到fa[top[x]]，并重复该操作。

2，如果两点已在同一条重路径上了，那么用线段树修改（查询）这两个点之间边（或点）。

至此，我们需要用到的数组有：

size[]：以该节点为根节点的子树的节点个数

dep[]：该节点在树中的深度

fa[]：该节点的父亲

son[]：该节点的重儿子

top[]：该节点所在重路径中深度最小的点

tid[]：该点（边）在线段树中的位置。

两次dfs的过程如下【仅供参考】：

void dfs1(int u,int p)//第一次Dfs {vis[u] = true;dep[u] = dep[p] + 1;//计算深度 fa[u] = p;//父亲 siz[u] = 1;//初始化Size值 int len = adj[u].size();for(int i=0;i<len;i++){int v = adj[u][i];if((!vis[v]) && (v != fa[u])){dfs1(v,u);siz[u] += siz[v];//计算Size值 if(son[u] == 0) son[u] = v;//先取第一个儿子为重儿子 else if(siz[son[u]] < siz[v]) son[u] = v;//然后去Size值最大的点 }}}void dfs2(int u,int tp)//第二次dfs {vis[u] = true;tim ++;tid[u] = tim;top[u] = tp;//计算top if(son[u]) dfs2(son[u],tp);//先dfs重儿子 int len = adj[u].size();for(int i=0;i<len;i++)//然后dfs其他儿子 {int v = adj[u][i];if((!vis[u]) && (v != fa[u] && v != son[u]))//注意需判断该节点是否不为重儿子 dfs2(v,v);}}