hdu 4944 FSF’s game 数学（公因子）+递推公式

题意：

给定一个整数n，求∑fun(i,j)（1<=i<=j<=n）。其中fun(i,j)=∑i*j/gcd(i/k,j/k)(k为i和j的公因子)。

题解：

令答案ans=dp[n]，那么dp[n]=dp[n-1]+∑fun(i,n)(1<=i<=n)，dp[1]=1。所以我们只要求出所有的∑fun(i,n)(1<=i<=n)，就能求得多有的dp[i]。也就能在O(1)时间内输出结果了。

∑fun(i,n)(1<=i<=n)怎么求？我们先讨论fun(i,n)=n*(i/c1+i/c2+...)，其中cj为n和i的最大公约数d的所有因子。

那么我们可以枚举所有n的因子j，对于因子j，存在这个因子且小于等于n的数字中有j,2*j,3*j,...,n。我们可以得到s[j]=(1+2+3+...n/j)*n=(n/j+1)*(n/j)/2*n。那么val[n]=∑fun(i,n)(1<=i<=n)=∑s[j](j为n的因子)。

之后用dp[n]=dp[n-1]+val[n]递推公式就能求得结果了。

#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <vector>#include <map>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;#define LL __int64const int maxn=5e5+20;LL mod;LL val[maxn],dp[maxn];void fun(int n){    for(LL i=1;i<n;i++)//枚举因子    {        for(LL j=i;j<n;j+=i)//枚举含有因子的数        {            val[j]+=(j/i+1)*(j/i)/2;        }    }}void init(){    mod=1;    mod=(mod<<32);    memset(val,0,sizeof(val));    fun(maxn);    dp[1]=1;    for(LL i=2;i<maxn;i++)//递推公式    {        dp[i]=dp[i-1]+val[i]*i;        dp[i]=dp[i]%mod;    }}int main(){    init();    int n,tt=0,T;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d",&n);        printf("Case #%d: %I64d\n",++tt,dp[n]);    }    return 0;}