二次同余式(草稿)

原理

求解方法

实现

/*==================================================*\| 二次同余式 x^2 === a (mod p) 的解 -- 最多两个| p为奇素数 且 (a, p) = 1\*==================================================*/LL modSqrt(LL a, LL p) {    if(p == 2) return a%p;    if(powMod(a, (p-1)>>1, p) != 1) return -1;    if(p%4 == 3) return powMod(a, (p+1)>>2, p);    LL b, x;    for(b = 1; powMod(b, (p-1)>>1, p) == 1; ++b);    LL i = (p-1)>>1, k = 0;    do {        i >>= 1, k >>= 1;        if((powMod(a, i, p)*powMod(b, k, p)+1)%p == 0) k += ((p-1)>>1);    } while(i%2 == 0);    x = (powMod(a, (i+1)>>1, p)*powMod(b, k>>1, p)) % p;    return x;}// 两个解为 x 和 p-x/*==================================================*\| 二次同余式 x^2 === a (mod p) 的解 -- 最多两个| 另一种解法 -- A神解法\*==================================================*/struct node {    LL p, d;};//二次域 -- 有理部分 + 无理部分node mulMod(node a, node b, LL w, LL p) {    node c;    c.p = (a.p*b.p%p + a.d*b.d%p*w%p)%p;    c.d = (a.p*b.d%p + a.d*b.p%p)%p;    return c;}//二次域乘法 -- w为根号下的值node powMod(node a, LL b, LL w, LL p) {    node r; r.p = 1, r.d = 0;    while(b) {        if(b&1) r = mulMod(r, a, w, p);        a = mulMod(a, a, w, p);        b >>= 1;    }    return r;}LL modSqrt(LL a, LL p) {    a %= p;    if(p == 2) return a%p;    if(powMod(a, (p-1)>>1, p)== p-1) return -1;    LL b = -1, w;    while(1) {        b = rand() % p; //++b;        w = b*b - a; w = (w+p)%p;        if(powMod(w, (p-1)>>1, p) == p-1) break;    }    node r, ans; r.p = b, r.d = 1;    ans = powMod(r, (p+1)>>1, w, p);    return ans.p;}

模为合数的解法

应用

Square Root URAL - 1132