无穷下降法·数的按位异或与随机博弈

 

无穷下降法是著名的业余数学家费马提出的，也正是因为这个方法他才敢在书页边上声称自己已经找到了一个巧妙的方法证明费马猜想（x^n+y^n=z^n在n>2时没有正整数解，x^y表示x的y次方）。意外的是这个方法并没有想象中的那样神奇，它仅仅可以证明对于某些特殊的n才能成立（譬如说4），思路是：假设存在一组解（x0，y0，z0），那么由这一组解可以得到一组新的解（x1，y1，z1），并且满足z0>z1，这个过程可以重复进行，然而这是不可能的，这样必然使得zi“下降”到0，所以原方程没有正整数解。这个方法应该和数学归纳法齐名的，然而它太类似反证法了：上述证明可以写成假设一组解（x0，y0，z0）是所有正整数解中满足z最小的一组解，这时再构造出一组新的解（x1，y1，z1）满足z0>z1，与假设矛盾，所以原方程没有正整数解。也不知道是不是由于这个原因，高中数学书中对这个方法只字未提。
随机博弈指的是这样的一个博弈游戏，目前有任意堆石子，每堆石子个数也是任意的，双方轮流从中取出石子，规则如下：

1〉每一步应取走至少一枚石子；每一步只能从某一堆中取走部分或全部石子；

2〉如果谁取到最后一枚石子就胜。

也就是尼姆博弈（Nimm Game）这种博弈的最终状态是：最后剩下一堆石子，当前取石子的人一次取完剩下的全部石子获胜。当石子剩下两堆，每堆1颗的时候，当前取的人显然必败；再来讨论一种情况，当石子剩下两堆，其中一堆只剩下1颗，另一堆剩下多于1颗石子时，当前取的人只需将多于1颗的那一堆取到剩余1颗，则局面变为刚才提到的必败局面。这个过程就是当前取石子的人如果有必胜策略，那么就迫使局面由必胜局面转化到必败局面，也就是说如果当前的局面是必败局面，那么经过2次取，局面又回到必败局面。无穷下降法不同于反证法之处也在此：在“下降”的过程中，状态一直保持不变（在证明费马猜想n=4的情形时，状态就是该三元组是方程的解）；而在随机博弈过程中，状态即局面，下降的是石子数目，由于石子总数目一直在减少，因此最终会“下降”到终极必败状态：最后一颗石子已经被胜者拿走，当前没有石子剩余。现在的问题是：
1〉确定一个方法（或者称之为一个从某一局面映射集合{必胜局面，必败局面}的函数），能够快速判断出当前局面是否为必胜（必败）局面；
2〉是否存在一种满足规则的转化状态方法（或者称之为一个从必胜局面映射到必败局面的函数），满足只要当前不是必败局面，取一次后均可以转化到必败局面。
如果仅仅是两堆石子，那么上述两个问题很好解决：
1〉当两堆石子数目相等的时候，当前局面为必败局面，否则为必胜局面，显然，两堆均为0颗是满足这个方法的；
2〉如果当前局面是必胜局面，那么从石子较多的那一堆里面取，使得两堆石子数相等，这样便转化到了必败局面。
然而，对多于两堆石子，1〉可以照旧，但是这样一来2〉远远没有这么简单，因为不太可能取后使得所有堆数目都一样（除非除了石子最多的一堆之外其它所有堆石子数目都相等）。因此需要找一组更加有效的方法，有个叫张一飞的人作过这个研究，他想到的方法是这样的：
1〉把所有堆的石子数目用二进制数表示出来，当全部这些数按位异或结果为0时当前局面为必败局面，否则为必胜局面；
2〉（定理0）一组自然数中必然存在一个数，它大于等于其它所有数按位异或的结果。因此在必胜局面下，因为所有数按位异或的结果是大于零的，那么通过一次取，将这个（大于其它所有数按位异或的结果的）数下降到其它所有数按位异或的结果，这时局面就变为必败局面了。
数的按位异或是一种信息时代新兴的运算（也用^表示，下文中a^b均表示a与b异或），若干个（二进制）数异或，在这些数中取最大的一个数，其它的数补前零与这个数对齐，如果这些数在某一位上有奇数个1，那么结果在这一位上为1，否则结果的这一位为0，如3^5^7^12：
0011
0101
0111
1100
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1101
从右往左，第一位上有3个1，第二位上有2个1，第三位上有3个1，第四位上有1个1，所以结果为1101（从左往右）。异或运算满足交换律和结合律，任何数与0异或还是这个数本身，在这些性质的保证下，显然所有石子全被取走后，全部数的异或为0，是必败局面，1〉已经解决，对于2〉只要证明定理0即可。张一飞在他的文章中也给出了证明，有几个地方不是很完整，具体如下：
原命题等价于，设a1^a2^...^an=p，p≠0时，必存在k，使得ak^p<ak（当p=0时，对于任意的k，有ak^p=ak）。
设p的最高位是第q位，则至少存在一个k，使得ak的第q位也是1，而ak^p的第q位为0，所以ak^p<ak
补缀一点，（a^b）^b=a^（b^b）=a^0=a，所以ak^p相当于“其它所有数按位异或的结果”。
这里再给出另一个证明：
从最高位开始，直到第q位上1的个数为奇数个，任选一个在第q位上为1的数a，剩余的所有数异或的结果必然会满足：比第q位高的位上与a相同，第q位为0，因此a大于其它所有数按位异或的结果。当然，还有一个意外，那就是所有数异或结果为0。