矩阵

来源：互联网发布：时序数据库 cassandra 编辑：程序博客网时间：2024/06/05 08:09

一. 空间概念

1. 不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。

2. 概念关联: 选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（线性变换），而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。简言之，线性空间选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。

二. 矩阵乘以向量

矩阵是一种变换理念，为变换（左乘）向量而生。向量 V1 被变换成 V2 之后，可以以如下两种思维模式看待：“基向量没变而基坐标变化了”或者是“基坐标没变而基向量变化了”。这两种思维模式可以在不同的场合灵活地进行切换。

三. 相似矩阵

引入定义：矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。这里，“线性变换” 与 “线性变换的一个描述” 要区分开。一个是对象，一个是对那个对象的描述。比如打算给一头猪拍照，选定不同的镜头位置，就会拍出不同的照片，拍出来的这些照片都是这同一头猪的描述，但又不是这头猪本身。

引入问题：给两张猪的照片，怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢，同样的，给两个矩阵，怎么知道这两个矩阵描述的是同一个线性变换呢，好在，我们找到了描述同一个线性变换的矩阵之间的一个性质，那就是,若矩阵 A 与 B 是同一个线性变换的两个不同的描述，（这里之所以会出现不同的描述，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵 P，使得 A ，B 之间满足关系 A = P的逆矩阵乘以 B 乘以 P ，即这也就是相似矩阵的定义。

引入结论：这里的结论是，一族相似矩阵描述的是同一个线性变换。

2. 教材中定义：A , B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P, 使 $P^{-1}AP=B$ ，则称矩阵 A 和矩阵 B 相似。