L1自适应控制-理论基础

L1自适应背景

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L1自适应控制算法是一种快速鲁棒的自适应控制。该算法实际上是模型参考自适应控制进行了改进，通过在控制律设计环节添加了一个低通滤波器，保证了控制律和自适应律设计的分离。

L1自适应系统机构及预备知识

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• L1自适应控制系统结构：
  L1自适应控制系统可分为：被控对象、状态预测器、自适应律、控制律
  

• 被控对象：采用状态空间形式表达，其中w、θ等为参数不确定性

• 状态预测器：数学模型如上图所示，其中x，w等对应的是被控对象当中的估计值。当时间趋于无穷时，被控对象将与状态预测器具有一致的动力学特性，估计偏差在李雅普诺夫意义下稳定
• 自适应律：以状态预测器和被控对象之间的误差为主要输入，保证其在李雅普诺夫意义下稳定而得到了对不确定性参数的估计
• 控制律：包括两个部分 1、与状态预测器相匹配的对参考输入的重构；2、低通滤波环节。

状态预测器

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• 含有参数不确定参数的被控对象数学模型可建立为：

x˙=Ax+Bu+σ′

其中A,B,σ表示系统的不确定性，其中A表示被控对象本身结构的不确定性，B表示输入引起的不确定性，而σ表示系统存在的扰动，与模型参考自适应控制系统设计类似

• 将被控对象转换为控制系统的期望输出表达
  数学描述为：

x˙=Amx+br′

其中Am满足霍尔维茨条件即满足稳定条件，r′=wu+θx+σ
对应可知，A=Am+bθ，B=bw，σ=bσ′

• 状态预测器设计
  状态预测器是为了被控对象的不确定参数进行估计，其与被控对象具有一致的数学表达。则状态预测器建模为：
  
  x^˙=Amx^+b(w^u+θ^x+σ^)
  
  将被控对象与状态预测器相减可得，由参考输入$u$到误差$\tilde{x}$的状态表达式为：

x~˙=Amx~+b(w~u+θ~x+σ~)

为了保证上式是渐进稳定的，写出误差方程的能量函数：

V=12x~TPx~+12Γ−1(w~Tw~+θ~Tθ~+σ~Tσ~)

其中Γ为系统的自适应增益，对上式求导，写出能量函数导数。则可证明误差方程在李雅普诺夫意义下稳定。

自适应律设计

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自适应律设计部分，通过对估计参数确定其数学表达，保证误差方程在李雅普诺夫意义稳定，即对李雅普诺夫导数为负定。

w^=−Γ∫u(Pb)Tx~dt

θ^=−Γ∫x(Pb)Tx~dt

σ^=−Γ∫(Pb)Tx~dt

上式为自适应律部分，其为对不确定参数的估计，并保证了误差方程在李雅普诺夫意义下稳定

控制律设计

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• 对控制系统进行控制律设计，控制律环节输入为u`，输出为r的数学表达，其保证了输入到状态预测器输出是无稳定误差的（即输出可稳定的跟踪输入信号）：

状态预测方程（输入到输出的传递函数）为：

y~=c(sI−Am)−1b(w~u+θ~x+σ~)

当时间趋于无穷时，可达到：

y~=−cA−1mb(w^u+θ^x+σ^)

为保证y^=r则可得：

u=1w^(−1cA−1mbr−θ^x−σ^)

• 设计低通滤波器，并用L1小增益定理证明稳定性

  设计低通滤波器D(s)=1s,对低通滤波器带宽k设计，为保证闭环控制系统满足L1小增益定理。

  小增益定理：反馈系统中，u1 u2为系统的输入；y1 y2为系统的输出； e1 e2为误差信号；H1 H2为系统本身的特性。当H1 H2的L1范数增益乘积小于1时，系统满足内稳定条件
  
  L1范数：向量各个元素绝对值之和

最终控制律数学表达式为：

u=ks+kw^(−1cA−1mbr−θ^x−σ^)

实现框图如图一所示， u输出添加低通滤波器：Ks 后，负反馈到u中。所以可知

u=ks(−1cA−1mbr−θ^x−σ^−w^u′)

控制性能分析

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控制律设计保证了输入到y^的稳定性，本节需要分析输入到系统输出的稳态性能

结论：系统误差的L无穷范数的平方与控制系统自适应参数成反比，当自适应参数足够大时，系统误差在任意时刻趋近于0