FFT小结

FFT(快速傅里叶变换)小结

（理论写也只能copy，就略过了）

BZOJ 3160 万径人踪灭

略过manacher求连续回文子序列的部分，问题到了求出总的回文子序列个数

令fi表示以i为中心对称的字符对个数，容易想到i对答案的贡献为：

∑fij=1Cjfi=2fi−1

问题转化到了求fi，显然我们可以O(n2)求得，但时间复杂度过高。

在manacher处理过后的串中，我们发现对于位置pos，如果si=sj(i+j=pos)则对fpos有贡献。

好了，我们发现这就是个卷积：fi=∑i−1j=1(sj==si−j)

分别处理字符a,b，即可

HDU 4609 3-idiots

这题某个学校的校赛出过简化版本的大概题意：给 n个数m次询问， 每次询问 一个k 求和小于k的二元组的对数 n<105,m<105,每个数 ai<105， k<2×105。由于值域很小，记录下每个数出现的次数，卷积算一下就好。

回到hdu4609，其实相比上面，就是要减去不合法的答案，与卷积无关就不扯了

hihoCoder 1388 Periodic Signal

(当时板刷了，然而都不会)

将式子展开可以得到∑A2i+∑B2i−2∑AiBi+k

前面两项的和是固定的，所以问题转化为了求∑AiBi+K的最小值

我们将B翻转一下就可以卷积了，但注意到是循环的，和其实是Ci+Ci+n

注意到数很大，FFT精度会不够，所以用大数NTT。

HDU 6061 RXD and functions

(敦老师的妙题，多校现场没转成卷积式)

首先考虑函数的平移，我们发现变换m次等效于变换一次∑a，

为了方便我们把s=∑a取反，所以题意就是求f(x+s)的系数

依旧是将式子展开，由二项式定理:

f(x+s)      =∑i=0nxi∑j=inCijcjsj−i=∑i=0nxi∑j=inj!(j−i)!i!cjsj−i令ai=cn−i(n−i)!,bi=sii!=∑i=0nxii!∑j=inan−jbj−i=∑i=0nxii!∑j=0n−ian−i−jbj将xi翻转=∑i=0nxi(n−i)!∑j=0iai−jbj

然后NTT搞一搞，倒着输出

PKU Campus 2017 Reverse K-th Problem

(比赛的时候推出了式子，最后没时间了)

题目大意就是给出值域为n长度为n的数组，有·q组询问，问有多少个区间满足第k大为x。

看上去是个数据结构，但复杂度明显不对，我们需要O(1)处理每个询问。

假设现在计算下标now的数的答案，我们用Li表示now左边比anow第i大的数的位置，用Ri表示now右边比anow第i打的数的位置，那么对询问anow,k答案的贡献是(Li−1−Li)∗(Rk−i+1−Rk−i)

令li=Li−Li+1,ri=Ri+1−Ri

那么ansanow,k=∑i=0k−1li×rk−1−i

我们发现这是个卷积，那么我们就可以O(nlogn)算出anow的所有答案。

总的时间复杂度为O(n2logn+q)。