HDU6134Battlestation Operational

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题意

​ 求解

f(n)=∑i=1n∑j=1n⌈ij⌉[(i,j)=1]

其中

[(i,j)=1]={1,gcd(i,j)=10,others

分析

​ =-=又一道公式推论神题。。解法和题解不同，是从网上找的结论，推论过程自行搜索吧。对于向下取整存在公式

g(n)=∑i=1n∑j=1n⌊ij⌋[(i,j)=1]

g(n)=∑i|nmu[ni](∑j=1id[j])

其中 mu[i] 为莫比乌斯函数, d[j] 表示数 j 约数的个数。

于是可以利用筛法求出 d[j] ，再求一次前缀和。然后再次用筛法求出 g[n] 。剩下的问题就是如何将 g[n] 转换为 f[n] 。容易发现，除了 j=1 的时候，其它必然都无法整除，即贡献为1。于是利用欧拉定理求出 <j 且和 j 互质数的个数即可获得f[n] 。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#include<queue>using namespace std;#define LL long long#define MAXN 1001000const int mod=1e9+7;int mu[MAXN];LL ans[MAXN];LL d[MAXN];int phi[MAXN];void getPhi(){    for(int i=1;i<MAXN;++i)        phi[i]=i;    for(int i=2;i<MAXN;++i)        if(phi[i]==i)            for(int j=i;j<MAXN;j+=i)                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);}void getMu(){    for(int i=1;i<MAXN;++i){        int target=i == 1?1:0;        int delta=target-mu[i];        mu[i]=delta;        for(int j=i+i;j<MAXN;j+=i)            mu[j]+=delta;    }}void init(){    getPhi();    getMu();    for(int i=1;i<MAXN;++i)        for(int j=i;j<MAXN;j+=i)            d[j]++;    for(int i=1;i<MAXN;++i)        d[i]=(d[i]+d[i-1])%mod;    for(int i=1;i<MAXN;++i)        for(int j=i;j<MAXN;j+=i)            ans[j]=(ans[j]+mu[j/i]*d[i])%mod;    for(int i=1;i<MAXN;++i)        ans[i]=(ans[i]+phi[i]-1)%mod;    for(int i=2;i<MAXN;++i)        ans[i]=(ans[i]+ans[i-1])%mod;}int main(){    init();    int n;    while(~scanf("%d",&n)){        printf("%d\n",ans[n]);    }}