HYSBZ-1041 数学思维；GCD 的应用

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define maxn 2000000000typedef long long ll;int ans;int gcd(int a,int b){    if(b==0) return a;    else return gcd(b,a%b);}void solve(ll rr){    for(ll i=1;i*i<=rr;i++){            ll t=i*i;       ll j= sqrt(rr-t);       if(i>=j) break;     if((j*j==rr-t)&&(gcd(i,j)==1))        ans++;    }}int main(){    ll r;    while(~scanf("%lld",&r)){            ans=0;            r<<=1;        for(ll i=1;i*i<=r;i++){            if(r%i!=0) continue;                ll d=i;                solve(r/d);                if(d*d==r) break;                solve(d);        }    cout<<ans*4+4<<endl;    }}

Sample Input

4

Sample Output

4

Hint

 科普视频

思路：比赛时候没有想出来，感觉自己还是比较笨；看了题解才做出来；下面说一下详细思路；

    r^2=x^2+y^2;所以y=sqrt(r^2-x^2)=sqrt((r+x)*(r-x));如果暴力枚举x,y，10秒的时间也会爆，所以我们要尽可能的缩小数据范围；首先求出d=gcd(r+x,r-x);我们可以写出y^2/d^2=((r-x)/d)*((r+x)/d);

又因为(r-x)/d和(r+x)/互质并且等式左边是平方的形式，所以(r-x)/d和(r+x)/d一定也是平方的形式；设(r-x)/d=u^2,(r+x)/d=v^2;容易得出u,v也是互质的。那么u^2+v^2=((r-x)/d)+((r+x)/d)=2r/d;我们现在可以枚举2r的约数，对于每个约数x，我们有u^2<=x并且v^2<=x;所以我们可以在x范围枚举u,再求v，然后判断是否互质，如果是就算找到了一个答案。