第19天

树状数组这部分，基本会用到3个数组---原始数组a[]、树状数组c[]、求和数组sum[]，主要有两个操作---更新（单点，某段区间）与查询（单点，区间求和）。充分运用了数据的二进制形式，达到高效（lowbit(i)=2^k）。基于以上，树状数组扩展了强大的功能。

许多功能其实就是对更新和查询的整合，运用很灵活，虽然理解，但自己很难直接想到，在下面列出：

1.三种求和模式：第一种是单点更新、区间查询，就是调用基本操作。第二种是区间更新、单点查询，此处没有对每个区间元素更新，而是通过灵活操作降低了复杂度。调用两次更新，首先对左端点L更新(value)，然后对右端点下个位置R+1更新(-value)，这样只是完成了这两个点及父亲结点的更新。在具体查询某点时，调用了求和查询的操作，此时sum[i]的值才是真正更新后的元素的值，也是通过sum数组完成对整个区间更新后的数据的保存。第三种是区间更新、区间查询，构建2个树状数组m[]、n[]，对m进行单点更新、区间查询，对n进行区间更新、单点查询，这种模式的步骤要繁杂些。

2.树状数组的基本功能----求比某点x小的点的个数。具体就是先遍历数组，每个位置求和，然后再进行更新。数据范围很大时，要进行离散化，就是先进行排序再重新编号，在一些情境下还可以在离散化时倒序编号。

3.树状数组因独特的结构而形成了二分条件。并且今天看题目时，接触了自己没有用过的一种二分思路。题目大意为.sum[k]=y，已知y，要求返回下标k。对于l，r，mid，我在通过比较修改上下限后，进行操作 mid=（l+r）/2。今天看到的这种，虽然也是比较后修改上下限，但在二分时仅对上限操作，即r/=2；

4.对于lowbit（）的充分运用。其实就是对下标间对应关系的充分运用，体现了数据二进制形式的优越性。如，要求a[i]，我们可以通过前缀和sum[i]-sum[i-1]，但简化来看，可以通过树状数组c[]来实现，因为sum数组元素包含共同树状数组元素，本身便可抵消。关键问题在于共同元素从哪个下标开始，这里便充分运用了数据的二进制形式。

以下摘自http://www.hawstein.com/posts/binary-indexed-trees.html#readf

读取某个位置的实际频率

上面我们已经讨论了如何读取指定索引的累积频率值(即c[idx])，很明显我们无法通过 tree[idx]直接读取某个位置的实际频率f[idx]。有人说，我们另外再开一个数组来存储f数 组不就可以了。这样一来，读和存f[idx]都只需要O(1)的时间，而空间复杂度则是O(n)的。 不过如果考虑到节约内存空间是更重要的话，我们就不能这么做了。接下来我们将展示在不 增加内存空间的情况下，如何读取f[idx]。(事实上，本文所讨论的问题都是基于我们只维 护一个tree数组的前提)

事实上，有了前面的讨论，要得到f[idx]是一件非常容易的事： f[idx] = read[idx] - read[idx-1]。即前idx个数的和减去前idx-1个数的和， 然后就是f[idx]了。这种方法的时间复杂度是2*O(log n)。下面我们将重新写一个函数， 来得到一个稍快一点的版本，但其本质思想其实和read[idx]-read[idx-1]是一样的。

假如我们要求f[12]，很明显它等于c[12]-c[11]。根据上文讨论的规律，有如下的等式: (为了方便理解，数字写成二进制的表示)

c[12]=c[1100]=tree[1100]+tree[1000]c[11]=c[1011]=tree[1011]+tree[1010]+tree[1000]f[12]=c[12]-c[11]=tree[1100]-tree[1011]-tree[1010]

从上面3个式子，你发现了什么？没有错，c[12]和c[11]中包含公共部分，而这个公共部分 在实际计算中是可以不计算进来的。那么，以上现象是否具有一般规律性呢？或者说， 我怎么知道，c[idx]和c[idx-1]的公共部分是什么，我应该各自取它们的哪些tree元素来做 差呢？下面将进入一般性的讨论。

让我们来考察相邻的两个索引值idx和idx-1。我们记idx-1的二进制表示为a0b(b全为1)， 那么idx即a0b+1=a1b^- .(b^- 全为0)。使用上文中读取累积频率的算法(即read函数) 来计算c[idx]，当sum加上tree[idx]后(sum初始为0)，idx减去最后的1得a0b^- , 我们将它记为z。

用同样的方法去计算c[idx-1]，因为idx-1的二进制表示是a0b(b全为1)，那么经过一定数量 的循环后，其值一定会变为a0b^- ,(不断减去最后的1)，而这个值正是上面标记的z。那么， 到这里已经很明显了，z往后的tree值是c[idx]和c[idx-1]都共有的， 相减只是将它们相互抵消，所以没有必要往下再计算了。

也就是说，c[idx]-c[idx-1]等价于取出tree[idx]，然后当idx-1不等于z时，不断地减去 其对应的tree值，然后更新这个索引(减去最后的1)。当其等于z时停止循环(从上面的分析 可知，经过一定的循环后，其值必然会等于z)。