01背包问题之二 （动态规划（DP））

注：本文内容源自《挑战程序设计竞赛》第二版

原题

01背包问题之二 

有n个重量和价值分别为wi，vi的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。
1<=n<=100
1<=wi<=10^7

1<=vi<=100
1<=W<=10^9

样例输入

n=4
(w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}
W=5

样例输出

7（选择0、1、3号物品）

涉及知识及算法

这一问题与最初的01背包问题相比，只是修改了限制条件的大小。这一次O(nW)的规模就不够用了，我们用DP针对不同的价值计算最小的重量。

定义dp[i+1][j]为前i个物品中挑选出价值总和为j时总重量的最小值。

则dp[0][0]=0,dp[0][j]=INF(不存在就赋值为INF)

在前i个物品中挑选出价值总和为j时，一定有

前i-1个物品中挑选价值总和为j的部分

前i-1个物品中挑选价值总和为j-v[i]的部分，然后再选中第i个物品

所以有dp[i+1][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i])

最终的答案就是令dp[n][j]<=W的最大的j

这样复杂度就变为了O(n∑i vi)

代码

int dp[MAX_N+1][MAX_N*MAX_V+1];void solve(){    for(int j=1;j<=MAX_N*MAX_V;j++)    {        dp[0][j]=INF;    }    dp[0][0]=0;    for(int i=0;i<n;i++)    {        for(int j=0;j<=MAX_N*MAX_V;j++)        {            if(j<v[i])            {                dp[i+1][j]=dp[i][j];            }            else            {                dp[i+1][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);            }        }    }    int res=0    for(int i=0;i<=MAX_N*MAX_V;i++)    {        if(dp[n][i]<=W)        {            res=i;        }    }    printf("%d\n",res);}