2017.08.19【NOIP提高组】模拟赛B组 经济编码

Description

为降低资料储存的空间或增加资料传送的速度，编码是常用的方法。
　　假设有一个字符集，每个字符出现的频率是已知的。现在要把每个字符编码成为一个二元字串（例如把“A”编码作101），采用的编码必须合乎以下条件：一个字符的编码不可以是另一个字符的前置（prefix）。前置的定义如下：若一个字串S1为另一个字串S2的前置，则从S2的最后一个字符开始，连续删除一定数量的字符后可以得到S1（S2本身也是S2的前置），举例而言：如果字符“A”的编码是101，而字符“B”的编码为01，则“B”的编码不为“A”编码的前置；如果字符“C”的编码为1100，而字符“D”的是11，则“D”的编码是“C”编码的前置。以下的编码方式可以在符合这个条件下给出最经济的编码，请找出使用下述方法做最经济编码时，一个字符编码的预期长度。
　　编码法：
　　1、 如以下所述建立一棵二元树。
　　先从字符集选取两个出现频率最低的字符作合并，合并后以一个全新的虚拟字符取代这两个字符，新字符的频率等于这两个旧字符频率的总和，并令这两个旧字符为此新字符的两个子树，左右不限。重复以上操作，直至字符集剩下一个字符为止。如下图（i）到（iv）。
　　2、 再依照以下所述方法将各字符作编码。
　　由上一步骤所得之二元树，将每个内部节点（internal node）连往左子树的边（edge）标记为“0”，连往右子树的边标记为“1”，如下图（V）所示。一字元的编码即为从树根（root）至此字符，经过的每一个边的标记所成之字串。在此“a”编码作000,“？”编码作01。
　　在按照上述的编码法完成最经济编码之后，就可以计算这个字符编码的预期长度。首先算出每个字符的预期长度=编码长度×出现频率，然后把所有字符的预期长度结合起来，就可以得到此字符编码的预期长度。下表是上述编码的计算范例。

字符 编码 编码长度 出现频率 预期长度
a 000/ 3 0.1 0.3
b 001/ 3 0.1 0.3
? 01/ 2 0.3 0.6
8 1/ 1 0.5 0.5

　　　　字符编码的预期长度 1.7

Input

　　第一行为两整数n和m，分别代表字符集的大小和文章总长度。然后每一个字符分行列出，每行列出一字符出现的次数。

Output

　　预期一个字符编码的长度，保留至小数点后6位。

Sample Input

输入范例1：
4 10
1
1
3
5

输入范例2：
6 100
30
30
5
25
5
5

Sample Output

输出范例1：
1.700000

输出范例2：
2.250000

Data Constraint

　　对于50%的数据，1<=n<=2000；
　　对于100%的数据，1<=n<=200000。
　　所有字符出现次数和等于文章总长度。

Hint

　　建议使用extended类型处理实数运算。

题解
这题题目化简之后就是给出一串数，每次把最小的两个合并并加入答案，求最后只剩一个数时的答案。
显然合并果子。用堆来做。
那么只需要维护一个小根堆，每次取出最小和次小，加在一起，加入答案之后放回堆中。

Code：

var        i,j,k,l,n,m,tot:longint;        answer,x,y:extended;        a:array[1..400000] of longint;        gl,d:array[1..400000] of extended;procedure up(x:longint);var        t:extended;begin        while (x>1)and(d[x]<d[x div 2]) do        begin                t:=d[x];            d[x]:=d[x div 2];            d[x div 2]:=t;                x:=x div 2;        end;end;procedure down(x:longint);var        y:int64;        t:extended;begin        while (2*x<=tot)and(d[x]>d[2*x]) or(2*x+1<=tot)and(d[x]>=d[2*x+1]) do        begin                y:=2*x;                if (y+1<=tot)and(d[y+1]<d[y]) then inc(y);                t:=d[x];                d[x]:=d[y];                d[y]:=t;                x:=y;        end;end;begin        readln(n,m);        for i:=1 to n do        begin                readln(a[i]);                gl[i]:=a[i]/m;        end;        for i:=1 to n do        begin                inc(tot);                d[tot]:=gl[i];                up(tot);        end;        while tot>1 do        begin                x:=d[1];                d[1]:=d[tot];                dec(tot);                down(1);                y:=d[1];                d[1]:=d[tot];                dec(tot);                down(1);                answer:=answer+x+y;                inc(tot);                d[tot]:=x+y;                up(tot);        end;        writeln(answer:0:6);end.