Floyd算法

前言：在前面我们已经介绍了，最短路径问题总体上分为单源最短路径和多源最短路径，而Dijkstra算法是解决单源最短路径的方法，这里将要介绍的Floyd算法就是解决多源最短路径的算法。即解决任意两点之间的最短路径。

很容易的，我们可以想到，将单源最短路径的算法对每两个结点进行一遍就得到了多源最短路径，但是这样计算是浪费时间和空间的，这样的计算的时间复杂度是T =O( |V|3 + |E|*|V|)；
还有另一种方法就是我们将要介绍的Floyd算法，它的时间复杂度是T=O( |V|3)

1、Floyd算法：是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

2、Floyd算法思路：跟Dijkstra算法一样，是逐步成型的，用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

3、寻找最短路径的步骤：
（1）、首先初始化二维数组，所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。
（2）、通过Dk-1递推到Dk，如果加入的点影响了路径长度，则更新，没有的话就忽略。

代码实现：

bool Floyd( MGraph Graph, WeightType D[][MaxVertexNum], Vertex path[][MaxVertexNum] ){    Vertex i, j, k;    /* 初始化 */    for ( i=0; i<Graph->Nv; i++ )        for( j=0; j<Graph->Nv; j++ ) {            D[i][j] = Graph->G[i][j];            path[i][j] = -1;        }    for( k=0; k<Graph->Nv; k++ )        for( i=0; i<Graph->Nv; i++ )            for( j=0; j<Graph->Nv; j++ )                if( D[i][k] + D[k][j] < D[i][j] ) {                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];                    if ( i==j && D[i][j]<0 ) /* 若发现负值圈 */                        return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */                    path[i][j] = k;                }    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */}

要打印最短路径可以用递归实现，i->j的最短路径，是i->k的最短路径+k->j的最短路径。