等差数列和等比数列

　基础知识

 

　　1．数列的概念

 

　　定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。

 

　　定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。

 

　　定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。

 

　　定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。

 

　　定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。

 

　　2．等差数列

 

　　定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。

 

　　等差数列具有以下几种性质：

 

　　（1）等差数列的通项公式：或；

 

　　（2）等差数列的前项和公式：或；

 

　　（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；

 

　　（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；

 

　　（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；

 

　　（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；

 

　　（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；

 

　　（8）若，则；特别地，当时，；

 

　　（9）设，，，则有；

 

　　（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；

 

　　（11）对于项数为的等差数列，有，；

 

　　（12）是等差数列的前项和，则；

 

　　（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则

 

　　      ①．为等差数列，公差为；

 

　　　　②．（即）为等差数列，公差；

 

　　　　③．（即）为等差数列，公差为.

 

　　3．等比数列

 

　　定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。

 

　　等比数列具有以下性质：

 

　　（1）等比数列的通项公式：或；

 

　　（2）等比数列的前项和公式：；

 

　　（3）等比中项：；

 

　　（4）无穷递缩等比数列各项公式：对于等比数列的前项和，当无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记为，即；

 

　　（5）设是等比数列，则（是常数），仍成等比数列；

 

　　（6）设，是等比数列，则也是等比数列；

 

　　（7）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；

 

　　（8）设是正项等比数列，则是等差数列；

 

　　（9）若，则；特别地，当时，；

 

　　（10）设，，，则有；

 

　　（11）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则

 

　　①．为等比数列，公比为；

 

　　②．（即）为等比数列，公比为；

 

　　典例分析

 

　　例1．设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于3，且各项之和为97²，则这样的数列有_____________个。

 

　　解：设等差数列的首项为，公差为。由已知有，即。又因为，所以只可能取，又因为且均为整数，故；

 

　　若，由于为正数，则，即，故，这时有或；

 

　　若，则，这时有或。

 

　　例2．设，A是S的三元子集，满足：A中元素可以组成等差数列，那么这样的三元子集有___________个。

 

　　解：若成等差数列，则，从而首未两项奇偶相同，且首未两项一旦确定，那么等差数列也就随之确定了。但是值得注意的是，虽然成等差数列时，也成等差数列，但它们所对应的是同一个集合A={}。

 

　　将S按数的奇偶性分成与两个子集。

 

　　从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法；

 

　　从中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有种不同的取法；

 

　　所以共有+种不同的取法。

 

　　例3．设，A为至少含有两项且公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看作是等差数列）（1991年全国高中数学联赛二试第一题）

 

　　分析：可先对特殊的n（如n=1,2,3）通过列举法求出A的个数，然后总结规律，找出的递推关系，从而解决问题；也可以就A的公差时，讨论A的个数。

 

　　解法一：设元素集中满足条件的A有个，则，，……如此下去，可以发现。

 

　　事实上，比的A增加的公差为的1个，公差为的1个，……，公差为为偶数)或为奇数）的增加1个，共增加个。

 

　　由的递推公式可得个。

 

　　解法二：设A的公差为，则，分为两种情况讨论：

 

　　（1）当为偶数时，则当时，公差为的A有个，当时，公差为d的A有个，故当n为偶数时，这种A共有

 

　　个；

 

　　（2）当为奇数时，则当时，公差为的A有个，当时，公差为d的A有个，故当n为奇数时，这种A共有

 

　　个；

 

　　综合（1）（2）得，所求的A共有个。

 

　　例4．将数列依次按每一项，两项，三项，四项循环分成（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27）,（29，31，33），（35，37，39，41），（43）……，则第100个括号内的各数之和是__________________。

 

　　解：每循环一次记为一组，则第100个括号是第25组的第4个括号。而每组中第四个括号内的各数之和构成以72为首项，以80为公差的等差数列，故为所求。

 

　　例5．设数列是等差数列，是等比数列，且，，（），又，试求数列的首项与公差。（2000年全国高中数学联赛一试第13题）

 

　　分析；题中两个基本量中的首项和公差是所需求的。利用，，成等比数列和给定的极限可列出两个方程，但需注意极限存在的条件。

 

　　解：设所求的首项为，公差为。因为，故；又因为成等比数列，故，即，即，化简得：，解得，而，故；

 

　　若，则；若，则；

 

　　但是存在，可知，于是不合题意，从而只有。于是由

 

　　解得，所以，

 

　　故数列的首项与公差分别为和。

 

　　例6．若复数列的通项公式为

 

　　（1）将数列的各项与复平面上的点对应，问从第几项起，以后所有的各项对应的点都落在圆的内部；

 

　　（2）将数列中的实数项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项及所有项的和。

 

　　解：（1）设数列的各项在复平面上对应的点的坐标为，则，。

 

要使点落在圆的内部，

只需，得

即，故从第6项起，以后每一项都落在圆的内部。

 

　　（2）要使数列中的项为实数，则，得，

 

　　因此数列的通项公式为，

 

　　所以，且

 

　　故数列是首项为1，公比为的无穷递缩数列，从而数列的所有项的和为：。

 

　　例7．已知整数，是1，2，3，……，n的一个排列，求证：不可能构成一个等差数列，也不可能构成一个等比数列。（2006年山东省第二届夏令营试题）

 

　　证明：若构成一个等差数列，设其公差为，则，，所以。

 

　　而，因为，所以

 

　　所以。

 

　　于是当时，则，于是

 

　　

 

　　所以，矛盾！

 

　　当时，则， 又因为所以，从而。

 

　　所以，所以，从而，矛盾！

 

　　从而不可能构成一个等差数列。

 

　　下证不可能构成一个等比数列。

 

　　若构成了一个等比数列，考虑最后三项。

 

　　有，所以。

 

　　而（，，所以；

 

　　当时，显然 ；

 

　　当时，显然  ；

 

当时，有，知，所以即，所以或4；

 

　　   当时，只能为1，6，6或2，6，3，但这两个都不是等比数列；

 

　　   当时，，所以故；又因为，所以矛盾！

 

　　所以也不可能构成一个等比数列。

 

　　例8．正整数序列按以下方式构成：为某个正数，如果能被5整除，则；如果不能被5整除，，则。证明：数列{}自某一项起，以后各项都不是5的倍数。（2006年山东省第二届夏令营试题）

 

　　证明：首先证明中一定在存在相邻的两项，它们都不是5的倍数。

 

　　（反证）若不然，数列中任意的两项都是5的倍数。

 

　　若，则；

 

　　若5  ，则，从而；

 

　　所以矛盾！（因为某个正数，不可能大于无穷多个正整数）

 

　　从而中一定在相在相邻的两项，它们都不是5的倍数。

 

　　设都不是5的倍数，则，其中，

 

　　有

 

　　因为，所以，所以只能取，即只能取，这说明不是5的倍数。

 

　　即从起以后每一项都不是5的倍数。

 

　　例9．将与105互质的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第三1000项。

 

　　解：设，，，

 

　　则；

       ；

       ；

      ；

      ；

       ；

       ，所以。

 

　　在1到105之间与105互质的数有

　　[

 

　　]+[++]

 

　　－=105－（35+21+15）+（7+3+5）－1=48

 

　　设将与105互质的数从小到大排列起来为数列，则

 

　　，，，

 

　　这是一个以48为周期的周数列，因为

 

　　所以；

 

　　而由于，，，，，，，

 

　　，；

 

　　所以=。

 

　　例10．数列的定义如下：，且当时，有 

 

　　现已知，求正整数.（2006年山东省第二届夏令营试题）

 

　　解：由题设条件知，并由得当n为偶数时，，当n为奇数时，；

 

　　由于，知n为偶数；

 

　　所以知为奇数；所以知为偶数；

 

　　知为奇数；知为偶数；

 

　　知为奇数；知为偶数；

 

　　知为偶数；知为奇数；

 

　　知为偶数；知为奇数；

 

　　知为偶数；

 

　　所以，所以。