bzoj-3884(指数循环节)
来源:互联网 发布:网络整合营销的道与术 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 06:56
Description
根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。
第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。
第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素,或10^18次,或者干脆∞次。
一句话题意:
Input
接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值
Output
T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值
Sample Input
3
2
3
6
Sample Output
0
1
4
Hint
T<=1000,p<=10^7
题目题意:题目题意很清楚了,就是让你求2无穷次方mod p的数值
题目分析:这个题目的确很吓人,2的无穷次方,看上出的确没办法的,但是我们再之前做题目时用到了一个公式的:
对于A^x % mod 的式子,我们有如下的展开式:
A^x % mod=A^(x%phi[m]+phi[m])%m (当且仅当x>=phi[m]时成立)
这个公式唯一的条件是x>=phi[m],在这里已经不存在了,因为x是无穷大,看起来很吓人的无穷大给我们带来了便利。记N=2的无穷大次方(无穷大),也就是说我们的式子2^ N% p =2^ (N%phi[p]+phi[p])%p,里面的N%phi[p]也是形如这样的式子,只是我们的模数变成了phi[p]
即N%phi[p]=2^N%phi[p]=2^(N%phi[phi[p]]+phi[phi[p]])%phi[p],这是一个递归的形式:
简单写成:
令f(p)=2^N %p;
则我们有f(p)=2^(f(phi[p])%phi[p]+phi[p])%p;
代码如下:
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#define ll long longusing namespace std;ll get_euler(ll n){ ll res=n,a=n; for (ll i=2;i*i<=a;i++) { if (a%i==0) { res=res/i*(i-1); while (a%i==0) a/=i; } } if (a>1) res=res/a*(a-1); return res;}ll fast_pow(ll base,ll k,ll mod){ ll ans=1; while (k) { if (k&1) ans=ans*base%mod; base=base*base%mod; k>>=1; } return ans;}ll f(ll p)//递归f{ ll phi=get_euler(p); if (p==1)//边界 return 0; else { ll ans=fast_pow(2,f(phi)%phi+phi,p); return ans; }}int main(){ ll t,p; scanf("%lld",&t); while (t--) { scanf("%lld",&p); printf("%lld\n",f(p)%p); } return 0;}
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